추적 및 발산 정리의 적분

Question

나는 내가 읽고있는 논문에서 다음과 같은 평등을 발견했고 그것을 확인할 수 없어서 막혔다.

우리는 발산이없고 부드러운 벡터 장을 가지고 있습니다. $V \colon \mathbb T^N \to \mathbb T^N$토러스에 정의됩니다. 주장된다$$ \int_{\mathbb T^N} \text{Tr}[(V \otimes V) \cdot \nabla V] \, dx = 0 $$ 어디 $dx$토러스의 표준 Lebesgue 측정 값입니다. 이것을 확인하는 유일한 아이디어는 부분에 의한 통합과 발산 정리에 의존하는 것입니다.$\text{div } V = 0$) 그리고 결론은 실제로 발산 정리 (우리가 원환 체에 있기 때문에)를 따를 것입니다.

그러나 무언가가 깨졌습니다. 2D에서 명시 적 계산은 적분이 $$ v_1^2 \partial_1 v_1 + v_2^2 \partial_2v_2 + v_1v_2 (\partial_1 v_2 + \partial_2 v_1) $$ (미분에 대한 명확한 표기법과 $V=(v_1,v_2)$) 그리고 나는 이것을 부분적으로 통합하거나 $\partial_1 v_1 = - \partial_2 v_2$.

나는 뒤에 간단한 (일반적인?) 트릭이 있어야한다고 생각하지만 계산의 밤 후에 나는 포기하고 있습니다. 당신의 도움을 주셔서 감사합니다.

Answer 1

다음 벡터 필드를 고려하십시오. $$X = |V|^2 V = \sum_j V_j^2 V$$ 의 위에 $\mathbb T^N$. 그런 다음 발산 정리에 의해$$\int_{\mathbb T^N} \operatorname{div} (X) = 0.$$ 이후

\begin{align} \operatorname{div} (X) & = \operatorname{div} (|V|^2 V) \\ &= \sum_i \nabla_i (|V|^2 V_i) \\ &= 2 \sum _{i,j} (\nabla_i V_j) V_j V_i + |V|^2 \sum_i \nabla_iV_i \\ &= 2 \sum_{i,j} V_i V_j \nabla_i V_j \\ &= 2\operatorname{tr} ( V\otimes V, \nabla V), \end{align}

하나는 결과를 얻습니다.

Answer 2

그래서 부분적으로 통합하고 $\nabla\cdot v=0$ 당신은 가지고 $$ \int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}(\nabla\cdot(v\otimes v) \otimes v) = - 0 -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\cdot\nabla v) \otimes v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) $$ 그래서 $$ 2\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = 0. $$