추론 $X$ 평균이있는 정규 분포를 가짐 $0$ 및 분산 $1$

Question

이전에 Grimmet $ Welsh의 문제에 대해 물어 보았습니다 (@angryavian과 @Graham Kemp에게 감사드립니다).

" $ X + Y $ 와 $ X-Y $ 가 독립적 인 경우 \begin{align} M\left(2t\right) = M\left(t\right)^{3}M\left(-t\right), \end{align} 여기서 $ X, Y $ 는 평균 $ 0 $ , 분산 $ 1 $ 및 $ M (t) $ 유한을 갖는 독립 rv입니다 . "

이것이 바로 링크입니다 : $ 2t $에 적용된 모멘트 생성 기능 .

그러나 이제 문제의 "두 번째"부분이 있습니다. $ X $ (및 $ Y $ )가 평균 $ 0 $ 및 분산 $ 1 $를 갖는 정규 분포를 갖는 rv 임을 보여 줍니다 .

책 자체 있습니다 sugest는 함수를 정의하는 $ \ PSI (t) = \ FRAC을 {M (t)} {M (-t)} $를 그 표시 $ \ PSI (t) = \ PSI (2 ^ {- N} t) ^ {2n} $ . 그런 다음 $ n \ to 0 $ 일 때 $ \ psi (t) = 1 + o (t ^ {2}) $ 를 $ t \ to 0 $ 이고 $ \ psi (1) = 1 $로 표시 합니다. 이것은 우리가 $ M (t) = M (-t) $ 라는 결론을 내릴 수있게 해줄 것이며 , 이것을 주 방정식 (링크와 위의 것)에 적용하면 $ M (t) = M (\ frac {1} {2} t) ^ {4} $ . 그런 다음 책은 원하는 결과를 얻기 위해 절차를 반복하라고 말합니다. 그래서 몇 가지 질문이 있습니다.

1. 그게 어떻게 보여 ^ {2 N} $ - $ \ PSI (t) = \ PSI ({N} t 2 ^)을 ?
2. $ \ psi (t) = 1 + o (t ^ {2}) $의 "o"는 무엇을 의미합니까? (나는 이것을 챕터를 통해 본 기억이 없다)
3. 원하는 결과를 얻기 위해 반복하는 절차는 무엇입니까? 전부 요? 마지막 부분?

물론, 누군가가이 진술을 증명할 다른 방법을 안다면, 나는 매우 정확할 것입니다! 도움에 미리 감사드립니다!

Answer 1

힌트 :

• 질문의 첫 부분을 사용하여 $\psi(t) = \frac{M(t)}{M(-t)} = \frac{M(t/2)^3 M(-t/2)}{M(-t/2)^3 M(t/2)}$. 보여주기 위해 더 많은 일을하십시오.$\psi(t) = \psi(t/2)^2$.

• $\psi(t) = \psi(t/2)^2$ 보다 일반적인 평등을 의미 $\psi(t) = \psi(t/2^n)^{2n}$.

• 테일러 확장에 의해 $\psi$, 우리는 $\psi(t) = \psi(0) + \psi'(0) t + \frac{1}{2} \psi''(0) t^2 + \frac{1}{6} \psi'''(\xi)t^3$ 일부 $\xi$ 중에서 $0$ 과 $t$. 우린 알아$\psi(0)=1$. 우리는 $$\psi'(t) = \frac{M'(t)M(-t) + M(t)M'(-t)}{M(-t)^2}$$ 그래서 $\psi'(0)=0$ (때문에 $M'(t)=E[X]=0$). 우리도 가지고있다 $$\psi''(t) = \frac{d}{dt}\frac{M'(t)M(-t) + M(t)M'(-t)}{M(-t)^2} = \frac{[M''(t)M(-t) - M(t) M''(-t)]M(-t)^2 + [M'(t)M(-t)+M(t)M'(-t)] 2 M(-t) M'(-t)}{M(-t)^4}$$ 그래서 $\psi''(0)=0$ (이후 $M''(0)=E[X^2]=1$). 따라서 Taylor 확장은 $$\psi(t) = 1 + \frac{1}{6} \psi'''(\xi) t^3.$$ 보여 주면 $\psi'''$ 일부 상수에 묶여 $C$ ...에 대한 $t$ 0에 가까움 (이것을 보여주는 간단한 방법을 생각할 수 없으며, 세 번째 순간이 존재한다고 가정합니다 ... 어쩌면 다른 사람이 내 엉망진창을 여기에서 정리할 수있을 것입니다), 그러면 우리는 $$\lim_{t \to 0} \frac{|\psi(t) - 1|}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{C}{6} |t| \to 0$$ 그것은 정의입니다 $\psi(t)=1+o(t^2)$.

• $\psi(1) = \lim_{n \to \infty} \psi(2^{-n})^{2n} = \lim_{n \to \infty} (1 + o(2^{-2n}))^{2n} = 1$ (여기서 단계를 건너 뜁니다)

• $\psi(1)=1$ 암시 $M(t)=M(-t)$

• $M(2t) = M(t)^3 M(-t) = M(t)^4$

• $M(t) = M(t/2)^4$

• $M(t) = M(t/2^n)^{4n}$

• 이를 추론하려면 더 많은 작업이 필요합니다. $M(t)=e^{-t^2/2}$ 위의 재발을 충족하는 유일한 후보 MGF입니다.