충분한 통계 및 이산 분포
허락하다 $X_1, \ldots, X_n$ 크기의 무작위 표본 $n$ 다음 배포에서 : $$f(x;\theta) = \left\{\begin{array}{ccc} \frac{1 - \theta}{6} & , & x = 1 \\ \frac{1 + \theta}{6} & , & x = 2 \\ \frac{2 - \theta}{6} & , & x = 3 \\ \frac{2 + \theta}{6} & , & x = 4\end{array}\right.$$
어디 $-1 < \theta < 1$. 매개 변수에 대한 최소한의 충분한 통계 찾기$\theta$.
답변 : Neyman 정리를 사용하려고합니다. $$f(x_1;\theta)\cdots f(x_n;\theta) = k_1\Big[u_1(x_1,\ldots, x_n); \theta\Big]k_1(x_1,\ldots, x_n)$$
따라서 \ begin {eqnarray *} f (x_1; \ theta) \ cdots f (x_n; \ theta) & = & \ prod \ limits_ {i = 1} ^ n \ left (\ frac {1-\ theta} { 6} \ right) ^ {n_1} \ left (\ frac {1 + \ theta} {6} \ right) ^ {n_2} \ left (\ frac {2 + \ theta} {6} \ right) ^ {n_3 } \ left (\ frac {2-\ theta} {6} \ right) ^ {n_4} \ end {eqnarray *}
어디 $n = n_1 + n_2 + n_3 + n_4$.
그러나 나는 형성 할 수없는 것 같다 $k_1$ 과 $k_2$ 이것으로 충분한 통계를 얻을 수 없습니다 $u_1$. 할$x$-값 1, 2, 3, 4도 여기서 역할을합니까?
답변
접합 밀도를 [제품 기호의 잘못된 포함에 유의하십시오!] \ begin {eqnarray *} \ require {cancel} f (x_1; \ theta) \ cdots f (x_n; \ theta) & = & \ cancel로 볼 때 {\ prod \ limits_ {i = 1} ^ n} \ left (\ frac {1-\ theta} {6} \ right) ^ {n_1} \ left (\ frac {1 + \ theta} {6} \ right ) ^ {n_2} \ left (\ frac {2 + \ theta} {6} \ right) ^ {n_3} \ left (\ frac {2-\ theta} {6} \ right) ^ {n_4} \ end { eqnarray *} 관절 밀도에서 시작하여 인수 분해가 이미 달성되었습니다. \ begin {align *} f (x_1; \ theta) & \ cdots f (x_n; \ theta) = \ prod \ limits_ {i = 1} ^ n \ left (\ frac {1-\ theta} {6} \ 오른쪽) ^ {\ mathbb I_1 (x_i)} \ left (\ frac {1 + \ theta} {6} \ right) ^ {\ mathbb I_2 (x_i)} \ left (\ frac {2 + \ theta} {6 } \ 오른쪽) ^ {\ mathbb I_3 (x_i)} \ left (\ frac {2-\ theta} {6} \ 오른쪽) ^ {\ mathbb I_4 (x_i)} \\ & = \ left (\ frac {1 -\ theta} {6} \ right) ^ {\ sum_ {i = 1} ^ n \ mathbb I_1 (x_i)} \ left (\ frac {1 + \ theta} {6} \ right) ^ {\ sum_ { i = 1} ^ n \ mathbb I_2 (x_i)} \ left (\ frac {2 + \ theta} {6} \ right) ^ {\ sum_ {i = 1} ^ n \ mathbb I_3 (x_i)} \ left (\ frac {2-\ theta} {6} \ 오른쪽) ^ {\ sum_ {i = 1} ^ n \ mathbb I_4 (x_i)} \\ & = \ left (\ frac {1-\ theta} {6 } \ right) ^ {n_1} \ left (\ frac {1 + \ theta} {6} \ right) ^ {n_2} \ left (\ frac {2 + \ theta} {6} \ right) ^ {n_3} 4 개의 카운터에만 의존하는 \ left (\ frac {2-\ theta} {6} \ right) ^ {n_4} \ end {align *}$n_1(\mathbf x),\ldots,n_4(\mathbf x)$, 인수 분해는 통계를 나타냅니다. $$S(X_1,\ldots,X_n)=\left(\sum_{i=1}^n\mathbb I_1(x_i),\sum_{i=1}^n\mathbb I_2(x_i),\sum_{i=1}^n\mathbb I_3(x_i),\sum_{i=1}^n\mathbb I_4(x_i)\right)$$ 제품이이 네 가지 수량에만 의존하기 때문에 충분합니다 (최소하지 않은 경우). 추가 분해를 찾으려면$k_1(S(\mathbf X);\theta)k_2(\mathbf X)$ 다소 의문이 있습니다 (예 : $k_2(\mathbf x)=1$).