다음 한도를 얻는 방법 : $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$

Question

다음 한도를 얻는 방법 :

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$$

내가 놔두면 $x=r\cos \theta$ 과 $y=r\sin \theta$ 어디 $\theta\in (0, \pi/2)$, 다음 $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\frac{r^5\cos^4\theta\sin\theta}{r^8\cos^8\theta+r^2\sin^2\theta}$$

한계가없는 것 같습니다.

Answer 1

이 경우 종종 좋은 전략은 변수의 변경을 사용하여 지수를 분모에서 동일하게 만드는 것입니다. $x^4=u$ 과 $y=v$ 그때

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\lim_{(u,v)\to (0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}$$

예를 들어 극좌표 또는 두 개의 다른 경로를 다음과 같이 가정하여 쉽게 결론을 내릴 수 있습니다. $u=\pm v$.

Answer 2

곡선을 따라 $y=x^{4}$ 한계는 $\frac 1 2 $ 그리고 함께 $y=0$ 그것은 $0$. 따라서 한계는 존재하지 않습니다.