다음 매트릭스 제품이 양의 정부 호 대칭이되기 위해 필요한 (그리고 충분한) 조건?

Question

일부 수정 $n\times n$ 양의 정부 호 대칭 행렬 $A$. 다음 매트릭스 제품을 고려하십시오.

$$B = AC$$

어디 $C$ 임의적이다 $n\times n$매트릭스. 주어진$A$, 모든 정사각형 행렬에 필요한 충분한 조건이 있는지 알고 싶습니다. $C$ 결과 행렬이 $B$또한 대칭 양의 정호입니까? 나는 (가능하다면) 필요한 조건을 아는 데 더 관심이 있습니다.

편집하다:

나는 실제 행렬에만 관심이 있습니다.

Answer 1

만약 $C$ 다음과 같이 정류되는 양의 정부 호 실수 행렬입니다. $A$ 그때 $AC = C^{1/2}AC^{1/2}$양의 정의입니다. 따라서 이것은 확실히 충분한 조건입니다.

그러나 그것은 필요하지 않습니다. 그것을 고려하십시오$$ \left[\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 4 \\ 4 & 8\end{matrix}\right]. $$

나는 그러한 것을 완전히 설명하는 좋은 조건이있을 것이라고 확신하지 않습니다. $C$.

한 가지 필요한 조건은 $$ AC = (AC)^T = C^TA \ \ \ \ \textrm{or} \ \ \ ACA^{-1} = C^T $$ 추가하면 $C$ 대칭이면 다음과 같이 통근합니다. $A$ 그리고 $A^{1/2}CA^{1/2} = AC > 0$ 그것은 의미 $C$ 이후로 양수 $A^{-1}$ 긍정적입니다.

완전한 대답은 아니지만 지금은 그게 전부입니다.