다음의 특성 (최소) 다항식이 주어지면 $T:V\to V$, 얼마나 많은 뚜렷한 요르단 형태가 가능합니까?

Question

특성과 최소 다항식을 고려하여 선형 연산자의 가능한 Jordan 형식을 결정하는 데 대한 몇 가지 일상적인 문제를 해결하고 있었는데 흥미로운 생각이 떠 올랐습니다! 모든 조합 학 애호가 들은 살펴 봐야합니다.

특성 다항식을 고려할 때 요르단 형식의 수에 대해 설명하는 방법이 있습니까? $T:V\to V$?

의 말을하자 $$p_T(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{n_i}$$

특성 다항식 $T:V\to V$. 이 다항식에 해당하는 Jordan Forms의 수를 설명하는 폐쇄 형 솔루션이 있습니까? 두 개의 Jordan 형식은 동일한 Jordan 블록 (모든 순열)으로 구성된 경우 동일한 것으로 간주됩니다 .

내가하면 어떻게 도 부여 의 최소 다항식을$T$즉 $m_T(t)?$ $$m_T(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{m_i}$$ 어디 $1\leq m_i\leq n_i$ 모든 $i=1,2,...,k$

우리가 더 많은 제약을가했기 때문에 대답은 확실히 감소하지만 얼마나 많이? 정확히 숫자는 무엇입니까?

나는 다음 아이디어가 답을 결정하는 데 매우 중요 할 것이라고 생각하지만, 그것들을 사용하여 구체적인 것을 알아낼 수는 없었습니다.

• 다음에 해당하는 모든 Jordan 블록 크기의 합 $\lambda$ 의 다중 성과 같습니다. $\lambda$ 에 $p_T(t)$.
• 에 해당하는 가장 큰 Jordan 블록의 크기 $\lambda$ 의 다중 성과 같습니다. $\lambda$ 에 $m_T(t)$.

감사합니다. 흥미로운 토론을 기대합니다!

Answer 1

마지막에 관찰 한 것보다 더 말할 수있는 것은 없습니다. 합이 다음과 같은 양의 정수의 다중 집합$n$불리는되는 파티션 의$n$, 이러한 파티션의 수는 일반적으로 기록됩니다. $p(n)$. 따라서 특성 다항식이있는 Jordan 정규형은$\prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{n_i}$ 단지 파티션으로 구성 $n_i$ 각각 $i$, 그래서 그들 수는 $$\prod_{i=1}^kp(n_i).$$ 그러나 알려진 닫힌 형식은 없습니다. $p(n)$ (그리고 경우 $k=1$, 귀하의 문제는 닫힌 양식을 찾는 것과 같습니다. $p(n)$).

마찬가지로 파티션의 수 $n$ 가장 큰 부분이 $m$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $p_m(n)$이므로 최소 다항식이 추가로 필요한 경우 $\prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{m_i}$ 그런 요르단 정규형의 수는 $$\prod_{i=1}^kp_{m_i}(n_i).$$ 다시 말하지만, 알려진 닫힌 형식은 없습니다. $p_m(n)$.