닫히지 않은 표면에 대한 이중 적분을 평가하는 방법은 무엇입니까?

Question

허락하다 $\vec{F}=(x+2y)e^zi+(ye^z+x^2)j+y^2zk$ 그리고하자 $S$ 표면이된다 $x^2+y^2+z=1$, $z\geq 0$. 만약$\hat{n}$ 에 수직 인 단위 $S$ 과 $$\left|\iint_S(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}\, dS\right|=\alpha\pi.$$ 그때 $\alpha=?$

표면 S가 닫히지 않았기 때문에 여기서 가우스 발산 정리를 적용 할 수 없습니다. 그렇다면이 질문을 어떻게 진행할까요? 도와주세요.

Answer 1

표면의 경계는 곡선입니다. $\{(x,y,z):x^2+y^2=1\cap z=0\}$스톡스 정리에 의해 두 표면이 동일한 경계를 공유하면 두 표면의 컬의 적분은 동일합니다. 즉

$$\iint\limits_S (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS$$

둘 다 위쪽 또는 아래쪽으로 향합니다.

이것이 왜 삶을 더 편하게 만드는가? 우선, Jacobian은$z=0$ 비행기와 평소 $xy$ 좌표는 $1$ (자 코비안은 그 자체에서 그 자체로 $1$) 및 법선 벡터는 $z$ 방향, 즉 전체 컬을 계산할 필요가 없습니다. $z$ 구성 요소입니다.

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2e^z$$

이것은 우리에게 다음과 같은 평등을 제공합니다.

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x-2e^0\:dA = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x\:dA - \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2\:dA$$

$2x$ 이상한 함수이므로 적분은 다음과 같이 디스크에서 사라집니다. $x$대칭. 유일한 적분 왼쪽은 상수입니다. 이것은 우리에게 그 상수의 표면적 시간을 제공합니다.

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = -2\pi$$

그러므로 $\alpha =2$