대체 증명 요청 : If $C=\{x^2,x\in S\}$, 표시 $\sup(C)=\max\{\sup(S)^2,\inf(S)^2\}$
Nov 29 2020
이 질문 에는 비 감소 함수의 연속성에 의존하는 정리를 사용한 답만 있습니다. 답을 이해할 수 있지만 (생각할 수 있다고 생각합니다) 동일한 연습 문제가 있지만 아직 연속성을 연구하지는 않았고 실수를 연구하고 시퀀스 연구를 준비하고 있습니다. 아마도이 답을 보았 기 때문에 이것을 증명하는 유일한 방법은 연속성을 사용하는 것입니다. 그러나 연속성에 대한 이러한 정리를 사용하지 않는 방법이 있어야합니다. 누구든지 실수 / 최상 / 무한 / 기타 속성으로 만 이것을 증명하는 방법을 보여줄 수 있습니까?
어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다.
답변
1 Surb Nov 29 2020 at 19:04
힌트
가정 $S\subset [0,\infty )$. 허락하다$c=\sup C$ 과 $s=\sup(S)$. 허락하다$\varepsilon >0$. 있다$x\in C$ 성 $c-\varepsilon \leq x^2\leq s^2$. 모두를위한 것이므로$\varepsilon >0$, 우리 $c\leq s^2$.
한다고 가정 $c<s^2$, 즉 $x\in S$ 성 $c<x^2\leq s^2$. 이것은 사실과 모순됩니다$c=\sup\{x^2\mid x\in S\}$.
따라서 $c=s^2$ 원하는대로.
증거를 적용하는 경우 $S\subset \mathbb R$ 대신에 $S\subset [0,\infty )$ 뿐.