대수적 값을 취하는 분석적 p-adic 함수

Question

존재한다고 가정 $r\in\mathbb R$ 비 상수 p-adic 함수가 $f(z)=\sum_{n\ge0}a_nz^n$ ($a_n\in\mathbb C_p$)이 정의 됨 $\mathcal D=\{z\in\mathbb C_p\mid v_p(z)>r\}$. 존재합니까$\alpha\in\overline{\mathbb Q}\cap f(\mathcal D)$? 대답이 '예'인 경우 존재합니까?$\alpha\in{\overline{\mathbb Q}}\cap f(\mathcal D\cap\mathbb Q_p)$?

Answer 1

우선, 그렇습니다. 이동에 의한 일반성을 잃지 않고 우리는 가정 할 수 있습니다$a_1 \neq 0$.

에 대한 $\alpha\in \mathbb Q$, 허락하다 $x_0=0$ 과 $x_{n+1} = x_n + \frac{\alpha-f(x)}{a_1}$. 확인하려면$x_n$ 수렴 $n$ 무한대로 간다 $\alpha-f(x)$, 확인하는 것으로 충분합니다. $v_p ( \alpha - f(x_{n+1})) \geq v_p ( \alpha - f(x_n)) + 1$.

이를 위해서는 $v_p(x_n) \geq s$ 과 $v_p( x_{n+1}- x_n) \geq s$ 일부 $s \in \mathbb R$ 그런 $v_p (a_n)+n s> v_p (a_1) + s + 1$ 모든 $n > 1$, 그때의 기여 $a_2$ 이상 $\alpha - f(x_{n+1})$ 의 기여에 의해 지배 될 것입니다 $a_1$.

이것은 먼저 그러한 것을 선택함으로써 확인하기 쉽습니다. $s < \frac{ v_p (a_n) - v_p(a_1) - 1}{ n-1}$ 모든 $n>1$ (이 시리즈가 아래에 한정되어 있는지 확인) $alpha$ 그런 $v_p ( \alpha- a_0) > a_1 + s$, 그래서 $v_p(x_1-x_0)>s$ 따라서 귀납적으로 $v_p(x_{n+1} -x_n) >s$ 모든 $n$.

두 번째는 아닙니다. 그냥 받아$f(z) = z + b$ 어디 $b\notin \mathbb Q_p + \overline{\mathbb Q}$. 이후$\mathbb C_p/\mathbb Q_p$ 셀 수없는, 그런 $b$ 존재합니다.