다항식 고리의 Jacobson 라디칼

Question

정의 : Let$M$ 콩 $R$기준 치수. 그런 다음 Jacobson 급진적$M$ 로 표시됩니다 $J_R(M)$ 모든 최대 하위 모듈의 교차점으로 정의됩니다. $M$. 만약$M$ 최대 하위 모듈이 없습니다. $J_R(M)=M$.

허락하다 $R$ 교환 링이고 $S=R[x]$다항식 링입니다. 우리는 Jacobson 급진적$S$ 이다 $Nil(R)[x]$ 언제 $S$ 로 취해진 다 $S$기준 치수. 즉$J_S(S)=Nil(R)[x]$.

내 질문 : 제이콥슨 급진파는 무엇일까요$S$ 언제 $S$ 로 취해진 다 $R$기준 치수? 즉$J_R(S)=?$

제발 도와주세요. 나는 당신에게 매우 감사 할 것입니다.

Answer 1

먼저 $S\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}R$ 같이 $R$-기준 치수. 또한 jacobson 급진적은 직접 합계를 보존하므로$$J_R(S)\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}J_R(R)$$ 그것은 계수가있는 다항식의 하위 모듈입니다. $J_R(R)$.

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Jacobson 급진적이 모듈의 직접 합계로 통근한다는 것을 증명하려면 먼저 모든 $R$-모듈 동형 $\varphi:M\to N$ 지도 $J_R(M)$ 으로 $J_R(N)$. 이것을 표준 투영에 적용$\bigoplus_iM_i\to M_i$ 준다 $J_R(\bigoplus_iM_i)\subseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$. 마찬가지로 표준 포함을 고려하여$M_i\to\bigoplus_iM_i$ 우리는 역 포함을 얻습니다. $J_R(\bigoplus_iM_i)\supseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$.