단일 원자 체인의 위상 속도

Question

1 차원 단일 원자 사슬 (동일한 질량)을 고려할 때 $m$ & 스프링 상수 $\kappa$), 다음 분산을 찾습니다. $$ \omega(k) = \sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, ,$$

그것은 $\frac{2\mathrm{\pi}}{a}$-주기적. 그래서 wavewectors는$\mathrm{\pi}/a$ 새로운 신체적 행동을 제공하지 마십시오.

그러나 위상 속도를 계산할 때 다음을 찾습니다. $$ v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{k}\sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, .$$이것은 위상 속도가 주기적이지 않은 sinc처럼 진행됨을 의미합니다. 첫 번째 Brioullin 영역 외부의 파동 벡터는 훨씬 낮은 위상 속도를 생성합니다.

이것이 어떻게 가능한지? 위상 속도에 대해 첫 번째 Brioullin 영역 만 고려하는 좋은 이유가 있습니까? 아니면 내 계산에 다른 오류가 있습니까?

Answer 1

위상 속도는 첫 번째 Brillouin 영역 밖에서는 의미가 없습니다. 위상 속도는 파동의 "크레스트"가 이동하는 속도입니다. 그러나 첫 번째 Brillouin 영역 외부에서는 파장이 원자 사이의 간격보다 작기 때문에 실제로 볏이 없습니다. 대부분의 "크레스트"는 대체 할 것이없는 원자 사이의 틈에서 발생하므로 볏은 일종의 수학적 인공물입니다.

평형 위치에서 원자의 변위에 대한 연속 함수를 정의 할 수 있지만 $u\left(x, t\right)$파동의 경우 파동이 실제로 연속적이라는 의미는 아닙니다. 파동은$x$원자가있는 위치. 따라서 연속 매체의 파동에서 나오는 일부 직관은 실제로 적용되지 않습니다.