단단한 공간은 국부적으로 수축 가능합니다.

Question

Steenrod의 The Topology of Fiber Bundles 섹션 12 를 읽는 동안 질문이 있습니다 .

우주 $Y$일반 공간에 대해 솔리드 라고 합니다.$X$, 닫힌 하위 집합 $A$ 의 $X$,지도 $f:A\to Y$,지도가 있습니다. $f':X\to Y$ 그런 $f'|_A=f$.

허락하다 $Y$ 그렇게 견고하다 $Y\times I$평범하다. 포인트 수정$y_0\in Y$. 참고$A:=(Y\times 0)\cup (y_0\times I)\cup (Y\times I)$ 닫힌 하위 집합입니다. $Y\times I$. 밝히다$f:A\to Y$ 으로 $f(y,0)=y$, $f(y,1)=y_0$ 과 $f(y_0,t)=y_0$. 그런 다음 견고 함$Y$ 그것을 의미 $f$ ~로 확장 $f':Y\times I\to Y$. 지금$f'$ 호모 토피는 $\textrm{id}_Y$ 상수지도에 $Y\to y_0$. 그러므로$Y$수축 가능합니다. 이후$y_0$ 임의적입니다. $Y$ 지역적으로 수축 가능합니다.

왜 그런지 모르겠어 $Y$지역적으로 수축 가능합니다. 이 주장은 각 요점이$Y$ 지역적으로 계약 가능한 임의의 작은 이웃이 있습니까?

Answer 1

솔리드 공간에 대한보다 일반적인 표기법은 "일반 공간에 대한 절대 신근"입니다.

당신의 건설 $f'$ 것을 보여줍니다 $(Y,y_0)$이다 뾰족한 수축 각을$y_0 \in Y$. 이것은 즉시

열린 동네마다 $U$ 의 $y_0$ 에 $Y$ 열린 이웃이있다 $V$ 의 $y_0$ 에 $Y$ 에 포함 $U% $ 그러한 포함 $V \hookrightarrow U$ null-homotopic입니다.

이 속성이 충족되면 $Y$라고 에서 로컬 수축$y_0$. 만약$Y$모든 지점에서 국부적으로 수축 가능 하며 국부적으로 수축 가능 합니다.

이것이 표준 정의입니다. 각각의 요구 사항$y_0 \in Y$임의적으로 작은 (개방형) 수축 가능한 neigborhoods가 더 강하며 모든 절대 신근에 대해 사실인지 의심합니다. Steenrod의 정의를 확인해야합니다.

도 참조 ANR 로컬 수축이다 .