당신은 어떻게 평가합니까 $\int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$
해결하기 위해 노력했다 될 때 적분 팝업 이 . 일반적인 솔루션을 얻을 수 있는지 모르겠습니다.
$$I = \int_0^1 x^n\arcsin^2(x) \, dx$$
어디 $n\in\mathbb{N}$. WolframAlpha는 다음에 대한 적분을 풀 수 있습니다.$n=1,2,3$하지만 계산 시간이 부족합니다. 하나는 대체 할 수 있습니다$u = \arcsin(x)$ 과 $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^n(x)\sqrt{1-\sin^2(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin^n(x)\cos(x) \, dx$$
WolframAlpha는 다음과 같은 경우를 해결하기 위해 삼각법 ID를 사용합니다. $n=1,2,3$,하지만 모두를 해결할 수있는 방법이 있습니까? $n\in\mathbb{N}$?
답변
평가 방법 에 도움이되지 않을 수도 있지만 Mathematica가 해결책을 제시합니다.$$ \frac{2 \, _3F_2\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;\frac{3}{2},\frac{n}{2}+2;1\right)}{(n+ 1) (n+2)}+\frac{\pi ^2}{4 (n+1)}-\frac{\pi ^{3/2} \Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)}{(n+1)^2 \Gamma \left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)} $$ 또한 적어도 일부 분수에 대해 작동하는 것으로 보입니다. $n$. $\;_3F_2$일반화 된 초기 하 함수 의 표기법을 사용합니다 . 가장 올바른 용어는 다음의 Mellin 변환 과 관련 이 있습니다.$\arcsin^2(x)$.
Mathematica의 솔루션은 아마도 다음 표현을 사용하여 도달 할 수 있습니다. $\arcsin(x)$Meijer-G 함수 로 사용하고 Meijer-G 함수 쌍의 적분에 대한 일반 형식을 해결 합니다 . 마지막으로 결과를 다시 초기 하 함수로 변환합니다. 이것은 일반적으로 적분을 상징적으로 풀기위한 일반적인 알고리즘이지만 적분도 헤비 사이드 스텝 함수와 컨볼 루션되기 때문에 확실히 말하기는 어렵습니다.
적분을 다음과 같이 작성할 가능성이 더 높습니다. $\mathcal{M}[\Theta(1-x) \arcsin^2(x)]$즉, 제품의 Mellin 변환 $\Theta(1-x)$ 과 $\arcsin^2(x)$, Meijer-G 표현이 있음 $$ \Theta(1-x) = \text{MeijerG}(\{\{\},\{1\}\},\{\{0\},\{\}\},x) $$ 과 $$ \arcsin^2(x) = -\frac{1}{2} \sqrt{\pi } \text{MeijerG}\left(\{\{1,1,1\},\{\}\},\left\{\{1\},\left\{0,\frac{1}{2}\right\}\right\},i x,\frac{1}{2}\right) $$ 그리고 방정식을 사용하십시오 $$ \int_0^{\infty} G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, \eta x \right) G_{\sigma, \tau}^{\,\mu, \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{c_{\sigma}} \\ \mathbf{d_\tau} \end{matrix} \; \right| \, \omega x \right) dx = \frac{1}{\eta} \; G_{q + \sigma ,\, p + \tau}^{\,n + \mu ,\, m + \nu} \!\left( \left. \begin{matrix} - b_1, \dots, - b_m, \mathbf{c_{\sigma}}, - b_{m+1}, \dots, - b_q \\ - a_1, \dots, -a_n, \mathbf{d_\tau} , - a_{n+1}, \dots, - a_p \end{matrix} \; \right| \, \frac{\omega}{\eta} \right) $$ 또는 이와 유사하므로 컴퓨터는 매우 유용한 도구이며, 특히 초기 하 정체성 측면에서 결과를 분리하는 데 유용합니다.
특수 기능을 피하는 대체 솔루션.
때로는 미지의 매개 변수에 따라 솔루션에 대해 ansatz를 만들면 부정 적분을 얻을 수 있으며 미분하면 매개 변수의 올바른 값을 얻을 수 있습니다.
짝수라고 가정 $n=2m$ 솔루션의 형태는 $$ \int x^{2m}\arcsin^2(x)dx=-2xP_m(x^2)+2\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\arcsin^2(x)+C $$ 어디 $P_m,Q_m$ 차수의 다항식 $m.$ 그런 다음 차별화함으로써 우리는 $$ -2P_m(x^2)-4x^2P'_m(x^2)-\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}Q_m(x^2)\arcsin(x)+4x\sqrt{1-x^2}Q'_m(x^2)\arcsin(x)+\\+2Q_m(x^2)+x^{2m}\arcsin^2(x)+\frac{x^{2m+1}}{2m+1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}2\arcsin(x). $$ 다음을 제외하고 모든 조건은 사라져야합니다. $x^{2m}\arcsin^2(x)$이므로 다음을 포함하는 용어를 분리합니다. $\arcsin(x)$ 다른 사람들과 위치 $t=x^2,$ 2 개의 1 차 선형 미분 방정식이 있습니다. $$ 2(1-t)Q'_m-Q_m+\frac{t^m}{2m+1}=0\\ 2tP'_m+P_m-Q_m=0 $$그 중 제곱근을 포함하는 일반 솔루션은 필요하지도 않고 원하지도 않지만 고유 한 특정 다항식 솔루션 만 있습니다. 이러한 해를 찾으면 정적분의 값이 다음과 같다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.$$ \int_0^1 x^{2m}\arcsin^2(x)dx=\frac{1}{2m+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-2P_m(1). $$
비슷한 방식으로, 이상한 $n=2m+1$, 우리는 가정합니다 $$ \int x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=-x^2P_m(x^2)+2x\sqrt{1-x^2}Q_m(x^2)\arcsin(x)+\left(\frac{x^{2m+2}}{2m+2}-k\right)\arcsin^2(x)+C $$ 그리고 얻은 미분 방정식으로 직접 가면 $$ t(1-t)Q'_m+(1-2t)Q_m+\frac{t^{m+1}}{2m+2}-k=0,\\ tP'_m+P_m-Q_m=0 $$ (처음부터 우리는 또한 $k=Q_m(0)$).
다시 한 번 다항식 솔루션을 찾고, 일단 찾으면$$ \int_0^1 x^{2m+1}\arcsin^2(x)dx=\left(\frac{1}{2m+2}-Q_m(0)\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-P_m(1). $$