다양한 형태의 프리오더가 가능한가요?
저는 수학자가 아니고 범주 이론에 익숙하지 않으며 다음과 같은 질문이 있습니다.
다양한 형태의 프리오더가 가능한가요? 모든 개체 사이의 모든 쌍에는 여전히 하나의 형태 만 있습니다. 그러나 문제의 형태는 항상 다른 형태입니다 (정체성 형태는 제외).
비공식적 인 예 : David Spivaks를 따름 [1] Olog의 접근 방식은 항상 주인이 구입 한 음식을 먹는 배고픈 개를 상상합니다.
A Dogowner O, Dog D 및 Dog Food F의 세 가지 개체를 가정합니다. 추가로 "owns", "eats", "buys"(그가 구매하는 유일한 제품인 "buys dog food"의 줄임말) 및 " 이다 ".
각각의 개체는 그 자체이므로 각 개체에서 그 자체로 "is"형태가 있습니다. 따라서 D는 O를 "소유"하고 O는 F를 "먹고"F를 "구매"합니다. 마지막으로 개는 정의상 항상 배가 고프고 주어진 모든 음식을 먹으므로
"소유"o "먹는다"= "구매".
이 경우의 질문 : 이것이 선주문일까요? 범주에 대한 모든 기준을 충족합니다. 정체성 형태와 구성이 제공됩니다. [2]에 이어 "프로 셋은 (엄격한) 얇은 범주입니다. 어떤 쌍의 물체 x, y에 대해 x에서 y까지 최대 하나의 형태가 존재하도록 엄격한 범주입니다."라는 사전 주문 기준도 충족합니다. "
그러나 나는 일반적인 예에서 비슷한 것을 보지 못했습니다. ⊆ 및 ≤는 선주문의 일반적인 예이며 카테고리의 개체에 적용된 유일한 형태입니다.
안부 Pavel
추신 : 내가 잘못된 길을 가고 있다는 지표가 될 수있는 좀 더 "공식적인"예를 생각 해낼 수 없었습니다.
출처 :
[1] Spivak, David I, Robert E. Kent, "Ologs : 지식 표현을위한 범주 적 프레임 워크" https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0024274
[2] https://ncatlab.org/nlab/show/preorder
답변
예, 선주문입니다. 범주 이론의 주요 통찰 중 하나는 종종 객체의 추상 속성 (및 객체 간의 형태)이 구체적인 설명보다 더 중요하다는 것입니다. 당신이 지적했듯이, 당신이 기술 한 카테고리는 "선주문처럼 보이지 않는다"는 것입니다. 왜냐하면 형태는 다음과 같은 이름이 주어지지 않았기 때문입니다.$\subseteq$ 또는 $\leq$. 그러나 범주 이론은 이름에 관심이 없습니다. 귀하의 카테고리는 선주문의 정의를 충족하므로, 예를 들어 선주문에 대한 멋진 정리가 있다면이 카테고리에 적용하는 것이 완벽하게 유효합니다.
짧은 대답은 '예'입니다. 형태의 이름 / 의미는 데이터의 일부가 아닙니다. 중요한 것은 형태가 구성되는 방식입니다. 범주를 정의하는 것은 개체 집합과 모피 즘 집합 (아이덴티티 및 구성과 함께)을 지정하는 것입니다. (일 수 있습니다$\{ \text{owns}, \text{eats}, \text{buys} \}$ 엄밀히 말하면 요소가 정의되지 않았기 때문에 잘 구성된 집합이 아닙니다. 일반적으로 카디널리티 3 집합을 취하는 것이 적합하기 때문에 집합으로 간주하는 것은 무해합니다. 원하는대로 모피 즘에 레이블을 지정할 수 있습니다. 이름을 잊어 버리고 구성 구조와 함께 기본 그래프를 고려하면 정확히 사전 주문이 있음을 알 수 있습니다.