다양한 콘 위에 다양한 것이 있습니까?

Question

허락하다 $\mathbb{F}$ 필드 (대수적으로 닫혀있을 수 있음)이고 $V\subseteq\mathbb{F}^n$아핀 다양성이어야합니다. 이제 원뿔을 정의하십시오.$V$ 다음과 같이 : $$\mathrm{Cone}(V):=\{\lambda\mathbf{p}: \mathbf{p}\in V, \lambda\in\mathbb{F}\}.$$ 나는 그것을 보여주고 싶다 $\mathrm{Cone}(V)\subseteq\mathbb{F}^n$유사 품종이기도하지만 문제가 있습니다. 조언을 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

따라서 아핀 다양성은 일부 다항식 모음간에 공유되는 0 집합입니다. $\{f_1, \dots, f_m\}\subset \mathbb{F}[x_1, \dots, x_n]$. 우리는$Cone(V)$ 아핀 다양성입니다 $\mathbb{F}^{n+1}$ 취함으로써 $f_i$ 동질 다항식, 즉 다항식으로 변환 $p$ 만족스러운 $$p(\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)=\lambda^{deg(p)}p(x_1, \dots, x_n)$$좌표를 추가하고 원본에 대한 입력에 일종의 "재 정규화"를 수행하여 비균질 다항식을 균질화 할 수 있습니다. 구체적으로$\lambda$ 새로운 좌표로 정의하고 $$\widetilde{f_i}(\lambda,x_1, \dots, x_n)=\lambda^{deg(f_i)}f_i(\tfrac{x_1}{\lambda}, \dots, \tfrac{x_n}{\lambda})$$ 일부 주어진 $(a_1, \dots, a_n) \in V$, 우리는 $$\widetilde{f_i}(\lambda, \lambda a_1, \dots, \lambda a_n)=\lambda^{deg(f_i)}f_i(\tfrac{\lambda a_1}{\lambda}, \dots, \tfrac{\lambda a_n}{\lambda})=\lambda^{deg(f_i)}f_i(a_1, \dots, a_n)=0$$

의미 $Cone(V)$ 아핀 다양성입니다 $\mathbb{F}^{n+1}$ (또는 $\mathbb{P}^n$).