de l' Hôpital없는 제한 : $\lim _{x\to 0\color{red}{\boldsymbol -}}\left(1+x^3\right)^{\frac{1}{\left(x^2+1\right)^4-1}}$

Aug 21 2020

이 양식의 제한이 있습니다.

$$f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln(f(x))}$$

$$\lim _{x\to 0\color{red}{\boldsymbol -}}\left(1+x^3\right)^{1/\left((x^2+1)^4-1\right)}$$

우리의 경우 지수로 쓸 수 있습니다.

$${g(x)\ln(f(x))}=\frac{\ln(f(x))}{\frac1{g(x)}}$$

그리고 나는 불확실한 형태를 가지고 있습니다. $(0/0)$그리고 나는 de l' Hôpital 규칙을 적용 할 수 있습니다. 지금은 그냥 쓸 생각

$$(1+x^3)=\left(1+\frac{1}{\frac1{x^3}}\right)$$ 그리고 나는 전화 $x^3=t$ 그러나 나는 지수를 너무 길게 구하면 더 복잡해질 것이라고 생각합니다.

답변

1 user Aug 21 2020 at 03:16

우리는 그것을 사용할 수 있습니다

$$\large{\left(1+x^3\right)^{\frac{1}{\left(x^2+1\right)^4-1}}=\left[\left(1+x^3\right)^{\frac1{x^3}}\right]^{\frac{x^3}{\left(x^2+1\right)^4-1}}}\to e^0=1$$

과연

$$\left(x^2+1\right)^4=1+4x^2+O(x^4) \implies \frac{x^3}{\left(x^2+1\right)^4-1}= \frac{x^3}{4x^2+O(x^4)}=\frac{x}{4+O(x^2)}\to 0$$

1 Bernard Aug 21 2020 at 02:50

힌트 :

간단하고 근처에서 동등한 것을 사용하십시오. $0$: 로그는 $$\frac{\ln(1+x^3)}{(x^2+1)^4-1}= \frac{\ln(1+x^3)}{\bigl((x^2+1)^2-1\bigr)\bigl((x^2+1)^2+1\bigr)}\sim_0\frac{x^3}{2x^2\cdot 2}=\frac x4$$ 따라서…

1 ClaudeLeibovici Aug 21 2020 at 13:28

$$A=\left(1+x^3\right)^{\frac{1}{\left(x^2+1\right)^4-1}}\implies \log(A)=\frac{1}{\left(x^2+1\right)^4-1}\log(1+x^3)$$ $$\log(A)=\frac{x^3-\frac{1}{2}x^6+\frac{1}{3}x^9+O\left(x^{12}\right)}{4 x^2+6 x^4+4 x^6+x^8}$$ 긴 분할 $$\log(A)=\frac{x}{4}-\frac{3 x^3}{8}+O\left(x^{4}\right)$$ $$A=e^{\log(A)}=1+\frac{x}{4}+\frac{x^2}{32}+O\left(x^3\right)$$