등가 공제 한 및 등변 펑터
이것은 Thomas Nikolaus, Peter Scholze, On topological cyclic homology , arXiv : 1707.01799 (마지막 줄 p147)의 다소 특정한 B.5이며, 근본적인 혼란을 겪고 있습니다.
우리는 카테고리가 있습니다 $\Lambda:=\Lambda_\infty/B\Bbb Z, \Lambda_\infty$내 이전 질문 에서 설명했습니다 .
B.5에서 저자는 작곡으로 주어진 펑터를 설명합니다. $$ Fun(\Lambda^{op}, C) \rightarrow Fun^{B\Bbb Z}(\Lambda_\infty^{op}, C) \rightarrow Fun^{B\Bbb Z}(pt, C) = C^{BB\Bbb Z} = C^{B\Bbb T} $$
처음 두 화살표에 근본적인 혼란이 있습니다. 편집 : 11/24/20.
Q1 : 카테고리는 정확히 무엇입니까 $Fun^{B\Bbb Z}(\Lambda_\infty^{op}, C)$. 나는 그것이 다음과 같이 이해되어야한다는 것을 이해한다$B\Bbb Z$ 등변 성 맵.
그러나 이것은 어떻게 정확합니까? 어찌 됐든 기대 할게$$ Fun^{B\Bbb Z}(\Lambda_\infty, C) \subset Fun(\Lambda_\infty^{op}, C )$$
그러나 구체적인 의미 없이는 다음 두 가지를 이해할 수 없었습니다.
Q1a : 관계는 무엇입니까 $Map_{Fun(B\Bbb Z, Cat)}(\Lambda_\infty,C)$ 과 $Fun^{B\Bbb Z}(\Lambda_\infty, C)$?
사실, 대칭 모노 이드 cateogires에 대한 일반적인 결과가 있습니까? $C$ 그 자체와 객체의 매핑 공간이 풍부합니까?
Q2 collimit를 복용하면 보존되는 이유 $B\Bbb Z$-등분 산?
Q3 : 우리는 어떻게 보여 $Fun^{B\Bbb Z}(pt, C)=C^{BB\Bbb Z}$?
답변
Q1 : 모든 $C,D\in Fun(BG,Cat_\infty)$, $Fun(C,D)$ 취득 $G$-액션도. 비공식적으로 이것은 다음과 같이 설명됩니다.$F\mapsto gF(g^{-1}-)$이며 실제로 다음과 같은 경우 정확한 설명입니다. $G$ 이산 그룹이고 $C,D$ 아르 $1$-카테고리 그러나 더 일반적으로 공식적으로는 내부 홈으로 볼 수 있습니다.$Fun(BG,Cat_\infty)$.
실제로 $Fun(BG,Cat_\infty)$, $C\times-$ 임의의 공동 제한을 보존합니다 (점 단위로 계산되며 $Cat_\infty$), 그래서 그것은 우리가 다음과 같이 나타낼 수있는 올바른 인접을 인정합니다. $Fun(C,-)$. 사실, (추상적 인 넌센스에 의해) 이것의 기본 객체가$\infty$-카테고리 $G$-액션은 $Fun(C,D)$.
특히, $G$-고정 포인트 $Fun(C,D)$맞는 말이다; 하지만 이제 우리는 동형 고정 소수점을 원합니다.$G$ 이산적이고 $C,D$ 아르 $1$-카테고리 : 원하지 않는 $gF(g^{-1}-) = F$,하지만 동형의 데이터를 원합니다. $\rho_g: F\to gF(g^{-1}-)$ 다양한 복합재가 호환되도록 (동형 일관된 방식으로)
이 동형 고정 점은 $Fun^G(C,D)$. 당신의 상황에서$G=B\mathbb Z$ 과 $C=\Lambda_\infty$ 그것과 함께 $B\mathbb Z$-동작.
특히 "건망증"펑터와 함께 제공되지만 상당히 하위 범주라는 점에 유의하십시오. $Fun^{B\mathbb Z}(\Lambda_\infty,D)\to Fun(\Lambda_\infty, D)$
Q2 : 저자는 다음과 같이 주장합니다. $\mathrm{colim}: Fun(\Lambda_\infty,C)\to C$ 등변 성이며, $B\mathbb Z$-고정 점.
이 펑터가 실제로 등변 성인 이유를 확인하려면 내가 말할 수있는 한 몇 가지 작업이 필요합니다 (단순한 솔루션이있을 수 있지만) : "대각선"에 의해 주어진 올바른 인접에 주목하여 시작하십시오. $C\to Fun(\Lambda_\infty,C)$그 자체가 등변 성입니다. 이것은 정의에서 분명합니다.$Fun(\Lambda_\infty,C)$, 이것은 내부 hom이기 때문에 투영을 확인하는 것으로 충분합니다. $C\times \Lambda_\infty\to C$ 등변 성이지만 이것은 분명합니다.
따라서 오른쪽 인접이 등변 인 왼쪽 인접이 있습니다. 이제 나머지는이 일반성으로 작동하므로 그렇게 작성해 보겠습니다.$L\dashv R$, $L:D\to E$ 중에서 $\infty$-카테고리 $G$-액션, 여기서 $R:E\to D$ 살 수있다 $Fun(BG,Cat_\infty)$ (과 $L$ 만 $Cat_\infty$ 선험적으로).
그러나 이제 고려할 수 있습니다 $Adj_R$, $\infty$-범주 $\infty$-카테고리와 그들 사이의 오른쪽 인접. 쉽게 따라옵니다$R: E\to D$ 화살표로 볼 수 있습니다 $Fun(BG,Adj_R)$. 지금$Adj_R\simeq Adj_L^{op}$ 명백한 방식으로 ( "명백한"이라고 썼지 만 사실 이것은 설정하는 데 약간의 작업이 필요합니다 $\infty$-범주 적으로), 우리가 볼 수 있도록 $L: D\to E$ 화살표로 $Fun((BG)^{op},Adj_L)$. 표준 동등성으로 작성$(BG)^{op}\simeq BG$, 우리는 $L: D\to E$ 정식으로 취득 $G$-등변 성 구조.
여기 깔개 아래로 미끄러지는 몇 가지 세부 사항이 있습니다. $D,E$ 정확하다 $G$-통과시 조치 $Adj_R$ ...에 $Adj_L$ 그리고 $(BG)^{op}$ ...에 $BG$. 이것은 본질적으로$g$ 과 $g^{-1}$ 역으로 작용하므로 본질적으로 고유하게 서로 인접합니다 (단위와 공동 단위가 결정된 경우).
다시 한 번 더 간단한 방법이있을 수 있습니다. $\mathrm{colim}$등변 성 구조를 가지고 있지만 그것이 무엇인지 확실하지 않습니다 ( 내가 쓴 것을 표현 하는 다른 방법이 확실히 있으며 그중 일부는 실제로 더 간단 할 수 있습니다)
Q3 : $Fun^G(pt,C)$ 이다 $(Fun(pt, C))^{hG}$,하지만 $Fun(pt,C) \simeq C$. 이제 다음 사항을 확인할 수 있습니다.$C$ 사소하다 $G$-액션, 그럼 $Fun(pt,C)$, 위의 동등성은 사소한 행동 동등성입니다. 그런 다음이 경우에는$Fun^G(pt,C) = C^{hG}$.
하지만 지금은 언제라도 $C$ 이다 $\infty$-사소한 카테고리 $G$-액션, 동형 고정 점은 단지 $Fun(BG,C)$, 그래서 경우에 $G=B\mathbb Z$, 당신은 얻을 $Fun(BB\mathbb Z,C)= C^{BB\mathbb Z}$.