등가 노름을 사용하여 노름 벡터 공간이 닫힌 경우 유한 차원 부분 공간

Question

유한 차원의 실제 벡터 공간에 대한 모든 규범이 동등하다는 것을 보여 주었고 질문은 이것이 왜 규범 벡터 공간의 모든 유한 차원 부분 공간이 닫혀 있음을 의미하는지 묻습니다. (위상 적으로 닫혀 있다는 의미에서 닫히고 보완은 열린 하위 집합입니다.)

동등한 규범이 동일한 수렴 개념을 산출한다는 것을 이해하지만 어디서 시작해야할지에 대한 아이디어가 거의 없습니다. 대신 부분 공간이 완전하다는 것을 보여주는 몇 개의 게시물을 보았지만 이것이이 문제의 정신에 있다고 생각하지 않습니다.

어떻게 진행해야합니까? 미리 감사드립니다!

Answer 1

나는 알고있다 $X$ 어떤 분야의 표준 공간 $\mathbb{F}$ 유한 차원 $n$, 그래서 당신은 증명할 수 있습니다 $X$ 동형이다 $\mathbb{F}^{n}$ 유클리드 규범으로. $[1]$

위 결과의 collorary는 $X$ 규범이있는 유한 차원 벡터 공간 $||\cdot||_{1}$ 과 $||\cdot||_{2}$. 그때$||\cdot||_{1}$ 과 $||\cdot||_{2}$ 동등합니다.

이제 그 결과를 증명할 수 있다면 $[1]$ 그러면 정규 선형 공간의 유한 차원 부분 공간이 닫힙니다.