DFT의 맥락에서 Nyquist 주파수 샘플은 양면 주파수 스펙트럼 (양측 / 음측)에 속합니까?

Jan 10 2021

데이터 포인트가 짝수 인 경우 $N$, MATLAB에서 DFT 후 출력은 다음 순서를 갖습니다.

$$(\text{DC}, f_1, f_2, \ldots, f_{N/2-1}, f_\text{Nyq}, -f_{N/2-1}, -f_{N/2-2}, \ldots, -f_1)$$

실제 신호의 경우 첫 번째 출력은 $k$= 0, 실제이며 Nyquist 주파수도 마찬가지입니다. 그 후 숫자는 복합 켤레입니다.

단측 스펙트럼에 관심이있는 경우 Nyquist 주파수가 양측에 표시됩니다.

그러나 양면 주파수 스펙트럼을 플로팅 할 때 많은 저자는 Nyquist 주파수를 음수로 설정합니다.

OriginPro와 같은 일부 소프트웨어는 그 반대입니다. 근본적으로 올바른 방법이 있습니까 아니면 단지 관습입니까?

$$ \text { If } N \text { is even, } \quad k\quad\text { takes: }-\frac{N}{2}, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}-1 $$

또는 $$ \text { If } N \text { is even, } \quad k \text { takes: } -\frac{N}{2}-1, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}$$

어디 $k$ 주파수 축을 다음과 같이 구성하는 데 사용되는 DFT 인덱스 벡터입니다.

$$\text {Frequency axis}=k/ N\Delta t$$

어디 $\Delta t$ 샘플링 간격입니다.

많은 사람들은 그것이 단지 관습이며 둘 다 옳다고 말합니다. 감사.

답변

3 OverLordGoldDragon Jan 10 2021 at 16:26

그것은 관습이며 동등합니다.

$$ \exp{\left(j2 \pi \frac{N}{2}n/N \right)} = \exp{\left(j2\pi \frac{-N}{2}n/N\right)} \\ \Rightarrow e^{j\pi n} = e^{-j \pi n} \Rightarrow \cos(\pi n) = \cos(-\pi n)=(-1)^n,\ j\sin(\pi n) = j\sin(-\pi n) = 0 $$

MATLAB 및 Numpy Go $[-N/2, ..., N/2-1]$, 이는 분석적 표현 (+ 주파수 만 해당)에 유감입니다. 또한 참고 그 값이 두배 다른 빈들에 대해 (그러나 수동 그들은 이런 식으로 연관), 그래서 의미에서의 에너지의 보존되도록 음성 및 양성 주파수 :

fftshift 문서 로 라이브러리의 선호도를 알 수 있습니다 .

robertbristow-johnson Jan 10 2021 at 12:04

가정 $x[n]$ 실제이므로 $X[k]$되는 "에르 미트 대칭" ;

$$ X[N-k] = (X[k])^* $$

그리고 만약 $N$ 짝수이면 DFT 빈의 값 $X[\tfrac{N}{2}]$(가수 부분이 0 인 실제 수량)은 두 개의 동일한 절반으로 분할되어야합니다. 절반은$k=-\tfrac{N}{2}$ 나머지 절반은 $k=+\tfrac{N}{2}$.

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