Dirichlet 컨볼 루션을 사용하지 않고 Möbius 반전 정리 증명

Question

나는 숫자 이론에 관한 교과서를 읽고 있는데 방금 뫼비우스 반전 정리를 읽었습니다.

증명을 읽고 완전히 이해했지만 질문이 있습니다

Dirichlet 컨볼 루션을 사용하지 않고 직접 뫼비우스 반전 정리를 어떻게 증명할 수 있습니까?

누군가 힌트를 떨어 뜨리거나 대답 할 수 있습니까?

미리 감사드립니다

Answer 1

대부분은 요약의 조작 일뿐입니다. 만약$g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)$, 다음

$$\begin{align*} \sum_{d\mid n}\mu(d)g\left(\frac{n}d\right)&=\sum_{d\mid n}\mu(d)\sum_{d'\mid\frac{n}d}f(d')\\ &=\sum_{d\mid n}\sum_{d'\mid\frac{n}d}\mu(d)f(d')\\ &=\sum_{\substack{1\le d,d'\le n\\dd'\mid n}}\mu(d)f(d')\\ &=\sum_{d'\mid n}\sum_{d\mid\frac{n}{d'}}\mu(d)f(d')\\ &=\sum_{d'\mid n}f(d')\sum_{d\mid\frac{n}{d'}}\mu(d)\,. \end{align*}$$

이제 그 사실을 사용하십시오.

$$\sum_{d\mid m}\mu(d)=\begin{cases} 1,&\text{if }m=1\\ 0,&\text{otherwise,} \end{cases}$$

정의에서 쉽게 따라 오는 $\mu$ 그리고 사실 $\mu$ 곱셈입니다.

$$\sum_{d\mid n}\mu(d)g\left(\frac{n}d\right)=f(n)\,.$$

Answer 2

"디리클레 컨볼 루션을 사용하지 않음"의 의미는 연관 및 교환 또는 곱셈 속성을 사용하지 않는 것입니다.

허락하다 $f(n)$ 과 $g(n)$ 다음과 같은 임의의 산술 함수

$$ g(n)=\sum_{d|n}f(d) $$

그런 다음 우리는

$$ \begin{aligned} \sum_{d|n}g(d)\mu\left(\frac nd\right) &=\sum_{ab=n}\mu(a)g(b) \\ &=\sum_{ab=n}\mu(a)\sum_{cd=b}f(c) \\ &=\sum_{acd=n}\mu(a)f(c) \\ &=\sum_{rc=n}f(c)\color{blue}{\sum_{ad=r}\mu(a)} \end{aligned} $$

이제 우리 문제의 핵심 부분은 파란색 부분을 처리하는 것입니다. 이후$\mu(a)=0$ 할때는 언제나 $a$ 제곱수로 나눌 수 있습니다 $>1$, 우리는 요인에 대해서만 합계를 실행할 수 있습니다. $p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}$ 의 $r$ 와 $a_m\in\{0,1\}$:

$$ \sum_{ad=r}\mu(a)=\sum_{a_m\in(0,1)}\mu(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}) $$

이후 $\mu(p)=-1$ 모든 소수 및 $a_m\in\{0,1\}$, 정확히 $\binom nt$ 만드는 방법 $a_1+a_2+\cdots+a_k=t$, 그래서 우리는 합계 기호를 교환 한 후이 값에 도달합니다.

$$ \sum_{ad=r}\mu(a)=\sum_{t=0}^k(-1)^t\binom kt $$

언제 $r=1$, 우리는 $k=0$, 그래서 이것은 1로 평가됩니다. 그러나 언제$r>1$이항 정리로 인해 0이됩니다. 마지막으로 우리는

$$ \sum_{ad=r}\mu(a)=\begin{cases} 1 & r=1 \\ 0 & r\ne1 \end{cases} $$

이 결과를 파란색 공식에 대입하면

$$ \sum_{d|n}g(d)\mu\left(\frac nd\right)=\sum_{c=n}f(c)=f(n) $$

따라서 파생을 완료합니다.