동형 $k$-대수는 최대 스펙트럼의 동형을 유도합니다
에 대한 $k$ 대수적으로 닫힌 필드, 아핀을 정의합니다. $k$-유한하게 생성되는 대수 $k$-감소 된 대수 (즉 $\sqrt{(0)} = (0)$). 애인을 위해$k$-대수학 $A$, 우리는 정의 $\operatorname{specm} A$최대의 이상의 집합이되는 것입니다. 그러면 다음과 같은 명제가 있습니다.
만약 $\alpha: A \rightarrow B$ affine의 동형 $k$-대수, 다음 $\alpha$ 위상 공간의 연속적인지도를 유도합니다. $\phi: \operatorname{specm} B \rightarrow \operatorname{specm} A$ 최대 이상을위한 곳 $m \subset B$,
$$ \phi(m) = \alpha^{-1}(m). $$
다음과 같은 증명의 전반부를 이해하는 데 문제가 있습니다.
증명:
어떠한 것도 $h \in A$, $\alpha(h)$ 뒤집을 수 있습니다 $B_{\alpha(h)}$ (의 지역화를 나타냅니다 $B$ ...에서 $\alpha(h)$), 그래서 동형 $A \rightarrow B \rightarrow B_{\alpha(h)}$ 동형으로 확장 $$ \frac{g}{h^m} \rightarrow \frac{\alpha(g)}{\alpha(h)^m}: A_h \rightarrow B_{\alpha(h)} $$
최상의 이상을 위해 $n \in B$, $m = \alpha^{-1}(n)$ 최대입니다 $A$ 때문에 $A/m \rightarrow B/n$ k-algebras의 주 사용지도입니다. $A/m$ 이다 $k$.
1 단계가 증명의 다른 곳에서는 사용되지 않는다고 생각하므로 2 단계는 1 단계의 결과 인 것 같습니다. 누군가 어떻게 설명 할 수 있습니까? 특히, 1 단계가 2 단계의 맵이 인젝 티브 인 이유입니까? 감사합니다!
답변
어디를 읽고 있는지 모르겠지만 너무 복잡해 보입니다. 한다고 가정$\alpha: A\to B$ 의지도입니다 $k$-대수 어디서 $A$ 과 $B$유한 유형입니다. 허락하다$\mathfrak{m}$최대한의 이상이 되십시오. 우리는 그것을 보여주고 싶습니다$\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$최고의 이상입니다. 유도 된지도는
$$\alpha:A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})\to B/\mathfrak{m}$$
다음과 같은 경우 주사제입니다. $\alpha(a\alpha^{-1}(\mathfrak{m}))=\alpha(a)\mathfrak{m}$ 0이면 $\alpha(a)\in\mathfrak{m}$ 그래서 $a\in \alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ 그것은 말한다 $a\alpha^{-1}(m)$ 0입니다.
이제 우리가 걱정할 수도 있지만 $\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$최대 값이 아니라 확실히 소수입니다. 실제로$ab\in\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ 그때 $\alpha(ab)\in \mathfrak{m}$. 그러나 이것은$\alpha(a)\alpha(b)\in\mathfrak{m}$ 그래서 $\alpha(a)\in\mathfrak{m}$ 또는 $\alpha(b)\in\mathfrak{m}$. 그러나 이것은 정확히$a\in\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ 또는 $\alpha^{-1}(b)\in\mathfrak{m}$. 이후$a$ 과 $b$ 임의적이었다 우리는 $\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$원하는대로 프라임입니다 ( NB : 물론 이것은 사용하지 않았습니다$\mathfrak{m}$ 최대이며 모든 주요 이상을 위해 작동합니다).
그래서 우리는 $\alpha$ 정수 영역의 포함을 유도합니다. $A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ 현장으로 $B/\mathfrak{m}$. 우리가 임의의 고리를 다룬다면 이것은 우리가 실제로 말할 수있는 전체 범위가 될 것입니다. 하지만 우리가 유한 유형을 다루고 있다는 사실은$k$-대수는 그날을 말하는 것입니다.
어떻게? 이후 Nullstellensatz에 의해$B$ 유한 차원입니다 $k$-대수 우리는 $B/\mathfrak{m}$ 유한 차원입니다 $k$-대수학! 그래서 특히$A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ 에 포함 $B/\mathfrak{m}$ 로 $k$-대수 우리는 $A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ 또한 $k$-유한 차원의 대수 $k$. 이것으로 충분합니다.
즉, 절대 완전한 일반성에서 $\ell$ 필드이고 $R$ 인 정수 도메인입니다 $\ell$-alebrawith $\dim_\ell R<\infty$ 그때 $R$ 필드입니다.
왜? 우리는 그것을 보여줄 필요가 있습니다$r\in R$ 0이 아닌 것은 $r$곱셈 역이 있습니다. 하지만 이것은 정확히지도가
$$m_r:R\to R:x\mapsto rx$$
가역적입니다. 분명히 $r$ 다음 곱셈 역이 있습니다. $m_r^{-1}=m_{r^{-1}}$ 그리고 만약 $m_r$ 그러면 뒤집을 수 있습니다 $1$ 의 이미지에 있습니다 $m_r$ 이것은 존재한다는 것을 의미합니다 $x$ 그런 $1=m_r(x)=rx$.
그러나 이후 $R$ 도메인입니다 $m_r$ 주사제입니다. $m_r(x)=0$ 그때 $rx=0$ 이는 도메인 속성에 의해 $x=0$ 이후 $r\ne 0$. 그러나$m_r$ 분명히지도입니다 $k$-벡터 공간, 유한 차원 벡터 공간의 주입 적 내 형성은 자동 형태이기 때문에 우리가 이깁니다!