두 번째 시도의 결과가 될 조건부 확률 찾기 $1$, 명시적인 계산없이
질문 : 각 시도가 결과를 똑같이 가져올 가능성이있는 독립적 인 시도 의 끝없는 순서를 고려하십시오.$1$, $2$, 또는 $3$. 첫 번째 시도의 결과가$1$및 결과 $3$ 발생할 세 가지 결과 중 마지막 결과 인 경우 두 번째 시도의 결과가 다음과 같을 조건부 확률을 찾습니다. $1$, 명시 적 계산없이 .
허락하다
$A_1$ = 첫 번째 시도의 결과는 1입니다.
$A_2$ = 두 번째 시도의 결과는 1입니다.
$\text{third last}$ = 결과 1과 2가 발생한 후에 결과 3이 발생합니다.
${A}$독립적 인 시도 의 끝없는 순서를 나타내며, 각 시도가 결과를 똑같이 가져올 가능성이 있습니다.$1$, $2$, 또는 $3$.
발견해야 할 것은 $P(A_2|A_1 \cap \text{third last})$, 명시적인 계산없이
내 추론은 다음과 같습니다 .
- 그 결과를 감안할 때 $3$세 가지 결과 중 마지막으로 발생합니다. 이제 하위 집합 으로 작업하도록 축소되었습니다. $A$단지 결과$1$ 과 $2$ 발생할 수 있습니다.
- 이 하위 집합 $A$ 그 자체가 독립적 인 시도 의 끝없는 순서 일 수 있습니다 .
- 결과 이후 $1$ 과 $2$ 똑같이 가능성이 있었다 $A$그들은이 똑같이 가능성이 있어야한다 부분 집합 의$A$단지 결과$1$ 과 $2$ 발생할 수 있습니다.
- 이제 두 번째 트레일의 결과가 1 일 확률은 $0.5$ (결과가 2 개뿐이므로 각 결과가 동일 할 가능성이 있음)
- 또한 첫 번째 시도와 두 번째 시도가 여전히 독립적이기 때문에 첫 번째 시도의 결과에 대한 정보는이 확률을 변경하지 않습니다.
그 후, $P(A_2|A_1 \cap \text{third last}) = \dfrac{1}{2}$, 그러나 주어진 대답은 $\dfrac{1}{3}$.
편집하다:
- $1,2,3,2,1,2,...$ 첫 번째 시도의 결과가 하나 인 예입니다.
- $2,1,2,2,1,3,1,...$ 결과가 $3$ 세 가지 결과 중 마지막으로 발생합니다.
- $1,1,2,2,1,2,3,2,1.....$ 첫 번째 시도의 결과가 1이고 결과가 $3$ 세 가지 결과 중 마지막으로 발생합니다.
edit2 : 모든 답변과 댓글 요약
허락하다 $X_i=j$ 그 결과를 표시 $i$ 처음으로 발생 $j^{th}$시도. 그때 제가 찾고 싶었던 것은$P(X_2 \neq 2\mid X_1=1, X_3>X_2)$, 그러나 내가 계산 한 것은 $ P(X_2 \neq 2\mid X_1=1,X_3\neq 2)$ -JMoravitz
$P(A_2|A_1 \cap \text{third last}) = \dfrac{1}{2}$ 있어야하기 때문에 사실이 아닙니다 $2$ 중에서 $1$ 과 $3$. 이는 결과간에 대칭이 없음을 의미합니다.$1$ 과 $2$두 번째 재판을 위해 더 이상. -cr001
앎 $3$ 각 순간에 나타나는 마지막 숫자입니다. $2$ 아직 나타나지 않았으며, 숫자를 약간 왜곡하여 $2$다음은 " 출연 할 운명"인 것처럼 나타납니다 . -JMoravitz
답변
$P(A_2|A_1 \cap \text{third last}) = \dfrac{1}{2}$ 있어야하기 때문에 사실이 아닙니다 $2$ 중에서 $1$ 과 $3$. 이는 결과간에 대칭이 없음을 의미합니다.$1$ 과 $2$ 두 번째 재판을 위해 더 이상.
실험이 정확히 끝나는 극단적 인 하위 사례를 고려하십시오. $3$시련. 이 하위 시나리오에서 두 번째 시도의 확률은$1$ 결과의 결과 $2$, 아닙니다 $1\over 2$.
물론 위의 하위 사례는 전체 샘플 공간이 아니며이 확률의 계산은 간단하지 않습니다. 이렇게하려면 각 케이스의 확률에 따라 확장 된 무한한 양을 합산해야합니다.
쉬운 방법은 베이 즈 정리를 사용하여 원래 문제를 해결하는 것입니다.
Bayes Theorem 방식으로 우리는
$$P(A_2 \cap A_1 | \text{third last})\cdot P(\text{third last})$$ $$=P(\text{third last}|A_2 \cap A_1 )\cdot P(A_2 \cap A_1 )$$
주의, $$P(\text{third last})={1\over 3}$$ $$P(\text{third last}|A_2 \cap A_1 )={1\over 2}$$ $$P(A_2 \cap A_1 )={1\over 9}$$
두 번째 평등은 결과가 $1$ 마지막이 될 수 없으며 결과간에 완전한 대칭이 있습니다. $2$ 과 $3$.
그래서 내가 올바르게 이해한다면 총 공간은 $\Omega_0 =\{1,2,3\}$ 그리고 $\Omega_0^{\Bbb N}$. 이 공간의 요소는 알파벳 단어로 식별됩니다.$\Omega_0$. 유한 단어로 시작하는 측정 가능한 집합$w$ 다른 완료는 다음으로 표시됩니다. $w*$. 그래서$122113*$ 로 시작하는 모든 단어의 측정 가능한 집합입니다. $122113$. 나는 하나의 숫자 / "문자"에 물음표를 사용할 것입니다.$1,2,3$.
그런 다음 OP는 이벤트를 처리합니다. $A_1=1*$, $A_2=?1*$, 및 $T=1^+2\{1,2\}^*3*\ \cup\ 2^+1\{1,2\}^*3*$. 여기,$1^+$ 하나의 단어로 만들어진 비어 있지 않은 단어의 패턴입니다. $\{1,2\}^*$ (비어있을 수도있는) 단어로 $1,2$.
우리는 공간을 분할 $A_2\cap T$ 조각에서 명시 적으로 : $$ \begin{aligned} B &= 11\; \{1\}^*\;2\;\{1,2\}^*\; 3*\ ,\\ C &= 21\; \{1,2\}^*\; 3*\ . \end{aligned} $$ 그때 $B\sqcup C=A_2\cap T$, 필요한 조건부 확률은 $p$ 아래에서 계산합니다 ... $$ \begin{aligned} p&= \frac{\Bbb P(B)}{\Bbb P(B)+\Bbb P(C)}\ , \\[2mm] \Bbb P(C) &= \Bbb P(21\; \{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\Bbb P( \{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\left(\sum_{k\ge0}\left(\frac 23\right)^k\right) \cdot\Bbb P( 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\frac 1{1-\frac 23} \cdot\Bbb P( 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\frac 1{1-\frac 23} \cdot\frac 13\ , \\[2mm] \Bbb P(B) &= \Bbb P(11\; \{1\}^*\;2\;\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot\Bbb P(\{1\}^*\;2\;\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \left(\sum_{k\ge0}\left(\frac 13\right)^k\right) \cdot\Bbb P(2\;\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \frac 1{1-\frac 13} \cdot\Bbb P(2\;\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \frac 1{1-\frac 13} \cdot \frac 13 \cdot \Bbb P(\{1,2\}^*\; 3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \frac 1{1-\frac 13} \cdot \frac 13 \cdot \left(\sum_{k\ge0}\left(\frac 13\right)^k\right) \cdot\Bbb P(3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \frac 1{1-\frac 13} \cdot \frac 13 \cdot \frac 1{1-\frac 23} \cdot \Bbb P(3*) \\ &= \frac 13\cdot\frac 13\cdot \color{blue}{ \frac 1{1-\frac 13} \cdot \frac 13} \cdot \frac 1{1-\frac 23} \cdot \frac 13 \\[3mm] &\qquad\text{So we have the proportion $\ Bbb P (C) : \ Bbb P (B)$ equal to $1$ : $\ color {파란색} {\ frac 12}$.} \\[3mm] &\qquad\text{Finally:} \\ p&=\frac{\Bbb P(B)}{\Bbb P(B)+\Bbb P(C)} =\frac{\color{blue}{\frac 12}}{\color{blue}{\frac 12}+1}=\frac 13\ . \end{aligned} $$이것은 빠른 패턴 읽기를 위해 자세히 작성되었습니다. 결과를 한 눈에보기 위해서는 차이를 만드는 (파란색) 요인이 무엇인지 알아야합니다.
비교할 때 파란색 부분입니다. $$ \begin{aligned} B &= \color{green}{11}\; \color{blue}{\{1\}^*\;2}\;\{1,2\}^*\; 3*\ ,\\ C &= \color{red}{21} \; \{1,2\}^*\; 3*\ . \end{aligned} $$ (그리고 녹색 / 빨간색 부분은 동일한 기여를합니다.)