두 개의 Banach 집합 각각에 대한 조밀 한 하위 집합

Aug 19 2020

허락하다 $A$$B$고유 한 (아마도 다른) 규범을 가진 Banach 공간이됩니다. 또한 비어 있지 않은 하위 집합이 있습니다.$S \subset A \cap B$ 그런 $S$ 밀도가 높다 $A$$B$ 각기.

그런 다음 $x \in A\cap B$, 우리는 항상 시퀀스를 추출 할 수 있습니까? $\{s_n\} \subset S$ 그런 $s_n \to x$$A$$s_n \to x$$B$?

이 질문은 상황에서 일반화됩니다. $A = L^1(\mathbb{R}^n)$, $B = L^2(\mathbb{R}^n)$$S = \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$,이 경우 위의 조건을 만족하는 시퀀스를 찾을 수 있습니다.

도와 주시면 감사하겠습니다!

답변

StephenMontgomery-Smith Aug 21 2020 at 11:41

여기에 제가 제안한 반례가 있습니다. 그것은 정리 2에 주어진 예의 이중을 고려하여 영감을 얻었습니다.http://faculty.missouri.edu/~stephen/preprints/interpolate.html.

허락하다 $$ Z = L^1([0,1]) \oplus L^1([0,1]) \oplus L^1([0,1]). $$ 허락하다 $A$, $B$ 부분 공간이된다 $Z$ 다음 규범이 유한합니다. $$ {\|(f,g,h)\|}_{A} = {\|f-g\|}_\infty + {\|g\|}_1 + {\|h\|}_\infty ,$$ $$ {\|(f,g,h)\|}_{B} = {\|f-h\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_1 .$$ 두 공간은 모두 동형입니다. $L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^1([0,1])$, 그래서 그들은 Banach 공간입니다.

우리는 그것을 계산할 수 있습니다 $$ {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} := \max\{{\|(f,g,h)\|}_{A},{\|(f,g,h)\|}_{B}\}\approx {\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty ,$$ 때문에 $$ {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} \le {\|(f,g,h)\|}_{A} + {\|(f,g,h)\|}_{B} \le 3 ({\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty) ,$$\begin{align} {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} &\ge \tfrac12({\|(f,g,h)\|}_{A} + {\|(f,g,h)\|}_{B}) \\&\ge \tfrac14{\|f-g\|}_\infty + \tfrac14{\|f-h\|}_\infty + \tfrac12{\|g\|}_\infty + \tfrac12{\|h\|}_\infty \\&\ge \tfrac14({\|f\|}_\infty-{\|g\|}_\infty) + \tfrac14({\|f\|}_\infty-{\|h\|}_\infty) + \tfrac12{\|g\|}_\infty + \tfrac12{\|h\|}_\infty \\&\ge \tfrac14 ({\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty) .\end{align} 그 후 $$ A \cap B = L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) .$$ 허락하다 $$ S = C([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]). $$ 분명히 $S$ 조밀하지 않다 $A \cap B$. 우리는 보여줍니다$S$ 밀도가 높다 $A$, 인수로 $S$ 밀도가 높은 $B$ 본질적으로 동일합니다.

가정 $x = (f,g,h) \in A$${\|x\|}_A \le 1$, 그건, $$ {\|(f,g,h)\|}_A = {\|f - g\|}_\infty + {\|g\|}_1 + {\|h\|}_\infty \le 1.$$ 참고 $f-g\in L^\infty \subset L^1$, 및 $g\in L^1$, 의미 $f \in L^1$. 허락하다$f_n \in C([0,1])$ 그렇게 될 ${\|f-f_n\|}_1 \to 0$. 세트$$ s_n = (f_n, g - f + f_n,h) .$$ 노트 $g - f + f_n = (g-f) + f_n \in L^\infty([0,1])$, 그래서 $s_n \in S$. 그런 다음$n \to \infty$, $$ {\|x - s_n\|}_A = {\|(f-f_n, f-f_n, 0)\|}_A = {\|f-f_n\|}_1 \to 0. $$