두 개의 제로 세트가 동종인 경우 세트에 대한 다항식의 고리도 동종인가?
이 명백한 실수를 저지른 것은 매우 유감입니다. 이상도 최고라고 물었어야했습니다. 나는 이것을 고쳤다.
허락하다 $R$ 복잡한 다항식의 고리 $n$ 변수와 let $I$ 과 $J$ 최고의 이상이되다 $R$. 중히 여기다$V(I)$ 과 $V(J)$, 이상의 제로 세트, 즉 이상의 모든 다항식에 의해 0으로 전송 된 점 세트입니다. 이러한 각 세트를 제공합니다.$V(I)$ 과 $V(J)$, 일반적인 토폴로지에 의해 유도 된 부분 공간 토폴로지 $\mathbb{C}^n$ 그리고 가정 $V(I)$ 과 $V(J)$동종입니다. 이제 반지를 고려하십시오$R/I$ 과 $R/J$. 고리처럼 동형이어야합니까? 그렇다면이 결과에 이름이 있으며 증거를 제공하거나 증거를 찾을 수있는 지점을 알려주시겠습니까? 그렇지 않다면 카운터 예제를 원합니다.
도움이 더 문제를 설명, 여기에 구체적인 예입니다 :
말$R$ 두 변수에서 복잡한 다항식의 고리이며 다항식에 의해 생성 된 이상이 있다고 가정합니다. $x^2+y^2-1$ 과 $x^2+y^2-2$. 이 경우 두 토폴로지는 동형이고 몫 고리도 고리 동형입니다. 항상 동종 이형이 고리 동형을 의미하는 경우 여야합니까? 그렇지 않다면, 이형 성과 같은 더 강한 조건이 대신 필요한 경우입니까?
답변
대답은 '아니오! 허락하다$k = \Bbb{C},$ 그리고하자 $I = (x^2 - y^3)$ 과 $J = (x)$ 내부 $\Bbb{C}[x,y].$ 먼저 $$\Bbb{C}[x,y]/I\cong\Bbb{C}[t^2,t^3]\not\cong\Bbb{C}[t]\cong\Bbb{C}[x,y]/J$$(전자는 완전히 닫혀 있지 않지만 후자는 닫힙니다). 그러나 나는$V(I)$ 과 $V(J)$ 의 하위 집합으로 동종 $\Bbb{C}^2$ 표준 토폴로지로.
지도가 있습니다 \begin{align*} \phi : V(x)&\to V(x^2 - y^3)\\ (0,t)&\mapsto (t^3, t^2) \end{align*} 과 \begin{align*} \psi : V(x^2 - y^3)&\to V(x)\\ (a,b)&\mapsto\begin{cases}(0,\frac{a}{b}),\quad b\neq 0,\\ (0,0),\quad a = b = 0.\end{cases} \end{align*}
먼저이 맵은 역수라는 점에 유의하십시오. 분명하다$\psi\circ\phi = \operatorname{id},$ 그리고 만약 $b\neq 0$ 우리는 계산한다 \begin{align*} \phi\circ\psi(a,b) &= \phi(0,\frac ab)\\ &= \left(\left(\frac{a}{b}\right)^3,\left(\frac{a}{b}\right)^2\right). \end{align*} 그러나 \begin{align*} a^2 = b^3&\implies\frac{a^2}{b^2} = b\\ &\implies\left(\frac{a}{b}\right)^3 = \frac{a}{b}\cdot b = a. \end{align*} 우리는 또한 관찰합니다 $\psi\circ\phi(0,0) = (0,0).$
이제 우리가 확인해야 할 것은이지도가 연속적이라는 것입니다. 하나는 그것을 본다$\phi$다항식으로 주어 지므로 연속적입니다. 문제는$\psi$연속적입니다. 이것은 분명합니다$b = 0,$ 그래서 우리는 $(a,b) = (0,0).$
주장 : 기능$\psi$ 연속적이다 $(0,0).$
증명 : 각 구성 요소의$\psi$연속적입니다. 분명히$(a,b)\mapsto 0$ 연속적이므로지도의 연속성에만 관심이 필요합니다. $(a,b)\mapsto a/b$ ...에서 $b = 0.$
분명히 우리는 모두에게 $\epsilon > 0,$ 존재 $\delta > 0$ 그런 경우
- $(\alpha,\beta)\in V(x^2 - y^3),$ 과
- $0 < \left|(\alpha,\beta)\right| < \delta,$
그때 $\left|\frac{\alpha}{\beta}\right| < \epsilon.$
먼저, $(\alpha,\beta)\in V(x^2 - y^3),$ 우리는 $\alpha^2 = \beta^3,$ 의미하는 $\left|\alpha\right|^2 = \left|\beta\right|^3.$ 이제 설정 $\delta = \epsilon^2.$ 우리는 \begin{align*} 0 < \left|(\alpha,\beta)\right| < \delta &\iff 0^2 < \left|(\alpha,\beta)\right|^2 < \delta^2\\ &\iff 0 < \left|\alpha\right|^2 + \left|\beta\right|^2 = \left|\beta\right|^3 + \left|\beta\right|^2 < \delta^2. \end{align*} 이것은 $$0 < \left|\beta\right|^2(\left|\beta\right| + 1) < \delta^2,$$ 그리고 우리는 확실히 $$\left|\beta\right|^2 \leq \left|\beta\right|^2(\left|\beta\right| + 1).$$ 이 모든 것을 종합하면 $0 < \left|(\alpha,\beta)\right| < \epsilon^2,$ 다음 우리는 $$ \left|\beta\right|^2 < \epsilon^4. $$ 둘 다 이후 $\left|\beta\right|$ 과 $\epsilon$ 긍정적 인 경우, 우리는 $$\left|\beta\right| < \epsilon^2.$$
그러므로, \begin{align*} \left|\frac\alpha\beta\right|^2 &=\frac{\left|\alpha\right|^2}{\left|\beta\right|^2} \\ &= \frac{\left|\beta\right|^3}{\left|\beta\right|^2}\\ &=\left|\beta\right|\\ &<\epsilon^2. \end{align*}제곱근을 취하면 원하는 결과를 얻습니다. 휴! QED
비고 1 : 대수적으로 닫히지 않은 필드보다 더 쉬운 예제를 얻을 수 있습니다.$k = \Bbb{Q}.$ 그때 $V(x^2 + 1) = V(x^2 - 2) = \emptyset$ 하위 집합으로 $\Bbb{Q}^2,$ 그러나 $$\Bbb{Q}[x]/(x^2 + 1)\cong\Bbb{Q}[i]\not\cong\Bbb{Q}[\sqrt{2}]\cong\Bbb{Q}[x]/(x^2 - 2).$$
비고 2 : 대답은 일반 분야도 아니다$k$ 언제 $k^n$ Zariski 토폴로지가 제공되지만 더 쉽게 볼 수 있습니다. $V(x)$ 과 $V(x^2 - y^3)$비 축소 아핀 곡선이므로 동일 토폴로지를 갖습니다. 물론, 동종 형성은 우리가 대수 기하학을 할 때 고려하고 싶은 것이 아닙니다 ( 토론 은 여기 를 보세요 ).
비고 3 : 마지막으로, 우리가 함께 일할 때도 대답은 아니오입니다.$\operatorname{Spec}R[x_1,\dots, x_n]$ 대신에 $R^n.$ 일반적으로 다음과 같은 경우는 사실이 아닙니다. $Z_1$ 과 $Z_2$ 동종 형 폐쇄 부분 공간 $\operatorname{Spec}R,$ 우리는 그것들을 감소 된 하위 계획으로 간주합니다. $\mathcal{O}_{Z_1}(Z_1)\cong\mathcal{O}_{Z_2}(Z_2).$ 사실,하자 $R = k\times k'$두 개의 비 동형 필드의 곱입니다. 그때$\operatorname{Spec}R = \{0\times k',k\times 0\},$ 그리고 만약 $Z_1 = \{0\times k'\}$ 과 $Z_2 = \{k\times 0\},$ 둘 다 단순히 포인트이지만 가정에 따르면 $\mathcal{O}_{Z_1}(Z_1) = k\not\cong k' = \mathcal{O}_{Z_2}(Z_2).$
또 다른 예는 $R = \Bbb{R}[x],$ 와 $I = (x)$ 과 $J = (x^2 + 1)$. $V(x)$ 과 $V(x^2 + 1)$ 둘 다 내부에 있습니다 $\operatorname{Spec}R,$ 그러나 $\Bbb{R}[x]/(x)\cong\Bbb{R}\not\cong\Bbb{C}\cong\Bbb{R}[x]/(x^2 + 1).$
반드시 그런 것은 아닙니다. 이상을 고려하십시오$(x)$ 과 $(x^2)$ 에 $\mathbb{C}[x]$. 명확하게 울리는 것처럼$\mathbb{C}[x]/(x) \ncong \mathbb{C}[x]/(x^2)$. Nullstellensatz를 본 적이 있다면$(x^2)$ 근본적인 이상이 아닙니다. $\sqrt{(x^2)} = (x)$ 그래서 $V(x^2) = V(x) = 0$. 이 예제는 내가 생각하는 다른 모든 분야에서 작동합니다.
편집 : 다시 말하지만, 대답은 어리석은 이유로 아니오입니다 (그리고 다시 일반적으로 생각하지 않는 것에 반대 할 수 있습니다.$(1)$, 그러나 그것은 처음에 Zariski 토폴로지를 정의하는 데 필수적입니다). 나는 이것에 대답 할 것이다$\mathbb{R}$. 이상을 생각하면$(x^2+1)$ 그리고 이상 $(1)$, 다음 $V(x^2+1) = V(1) = \phi$. 그러나$\mathbb{R}[x]/(x^2+1) \cong \mathbb{C}$ 이므로 $\mathbb{R}[x]/(1) \cong 0$.
죄송합니다. $(1)$ 프라임이 아닙니다.