두 iid 지수 RV 간의 차이에 대한 확률 함수
내 대답은 완전히 꺼져 있습니다. 내 논리가 어디에서 잘못되었는지 말씀해 주시겠습니까?
도널드 트럼프와 토리 블랙은 특정 시간에 만날 예정이며 둘 다 $ \sim Exponential(\lambda), i.i.d. $. 도착 시차의 cdf는 얼마입니까?
허락하다 $ X, Y$ 늦은 시간과 차이가 될 $Z = X - Y$. 사례는$z \geq 0$ 과 $z < 0 $.
첫째, $ z \geq 0$,
$ F_Z(z) = P(Z\leq z) = P(X-Y \leq z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y)$
지 $\geq 0$, 그래서 $X \geq 0 $ 모든 $Y$.
$$\begin{align} F_Z(z) & = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-\lambda y}(-e^{-\lambda x}|_{z+y}^\infty) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-2\lambda y}e^{-\lambda z}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda y} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}\end{align}$$
이제 $z < 0$, 내 계산이 매우 잘못되었습니다 .
비슷하게, $F_Z(z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y) $
$Z < 0$, 그래서 $X \geq 0$, $Y$ 해야한다 $Y \geq -Z$, 그래서 나는 :
$$\begin{align}F_Z(z) & = 1 - \int_{-z}^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1- \int_{-z}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot e^{-\lambda (z+y)}dy \\& = 1 - e^{- \lambda z}\int_{-z}^\infty \lambda e^{-2\lambda y}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\cdot \frac{1}{2}e ^{2\lambda z} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{\lambda z}.\end{align}$$
따라서 두 경우에 대한 내 대답은 $z$ 기호.
올바른 CDF는 교과서에 다음과 같이 제공됩니다.
$F_Z(z) = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}$ ...에 대한 $z\geq 0$ 과 $\frac{1}{2}e^{\lambda z}$ ...에 대한 $z<0$.
통합하는 것을 잊었습니다. $Y$ 위에 $\int_0^{-z}$ ...에 대한 $z<0$, 포함 된 경우 교과서에 대한 답변을 제공합니다.
답변
적분 한계가 올바르지 않습니다. 통합 영역을 그리면 첫 번째 사분면과 선의 오른쪽에 있습니다.$X-Y=z$. 통합 순서가 다음과 같으면 통합하기가 더 쉬울 것입니다.$dy dx$. 그렇지 않으면 두 가지 다른 범위를 계산해야합니다.$0\leq y \leq -z$ 과 $-z<y<\infty$. 적분에서 두 번째 간격을 계산합니다.
$$\begin{align}P(X>z+Y)&=\int_0^\infty \int_0^{x-z}\lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda y}dydx\\&=\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}(1-e^{-\lambda(x-z)})dx\\&=1-e^{\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda x}dx\\&=1-e^{\lambda z}/2\end{align}$$
이것은 $F_Z(z)=e^{\lambda z}/2$
나는 사건에 대한 그의 분석에 대한 OP의 질문에 대답하지 않을 것입니다 $z<0$ 잘못되었지만 대신 값이 일단 정답을 얻는 더 쉬운 방법을 지적하십시오. $F_Z(z)$ 로 결정되었습니다 $1-\frac 12 \exp(-\lambda z)$ 언제 $z > 0$.
이후 $X$ 과 $Y$IID 확률 변수는이다 농도 의은$Z = X-Y$ 밀도와 같아야합니다. $-Z = Y-X$즉, 밀도는 짝수 함수 여야합니다 . 이것의 한 가지 결과는$P(Z>\alpha) = P(Z<-\alpha)$ 그래서 우리는 즉시 \begin{align} P(Z > z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < -z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < z) &= \frac 12 \exp(\lambda z), &z < 0,\\ \end{align} 그래서 $$F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(Z < z) = \frac 12 \exp(\lambda z), \,\,\,\ z < 0.$$
사실,이 문제는 지수 분포가 메모리가없는 유일한 연속 분포라는 지식에서 시작하면 적분을 전혀 계산하지 않고도 해결할 수 있습니다 . 즉, 임의의 변수가$X\sim\text{Expon}(\lambda)$ 그리고 또한 $X-a|X>a\sim\text{Expon}(\lambda)$ 어떠한 것도 $a>0$. 즉,$X$그는 그 십분 이상 도착할 때까지 부동산 재벌 도널드 트럼프가 도착 그는 10 분, 말, 후 도착하지 않은 때까지의 시간은, 다음 시간 도 로 배포$X$. 이것은 직관적이지 않은 것처럼 보일 수 있지만 증명하기 쉽습니다.
이제 $X,Y$ 괜찮아 $\text{Expon}(\lambda)$ 그리고 Donald와 Tori의 도착 시간을 각각 계산하면 Donald는 확률 0.5로 가장 먼저 도착합니다. $\text{Prob}(Y>X)=0.5$. 그러나이 경우 더 중요한 것은$Y$ 우리에게 말한다 $Y-X|Y>X \sim\text{Expon}(\lambda)$ 가치가 무엇이든 $X$ 따라서 $-Z|Y>X$ 이다 $\text{Expon}(\lambda)$. 마찬가지로 토리가 먼저 도착하면$\text{Prob}[X>Y]=0.5$, 다음 $Z|X>Y$ 또한 $\text{Expon}(\lambda)$. 두 케이스를 합치면 대칭적인 결과를 얻을 수 있습니다.$F_Z(z)$ 이전에 얻은 것입니다.
나는 cdf를 요구 했지만 그것이 pdf 였다면 .
에 대한 $z\geq 0, 0\leq z\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_z^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_z^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda z} \end{align}$$
에 대한 $z<0, z< 0\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_0^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_0^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{\lambda z} \end{align}$$