두 필드의 합성 잔류 필드


[질문]
알아 $K'\cdot K''$ 의 비 분류 확장입니다 $K$ 근데 왜 그런지 모르겠어 $K'\cdot K''$ 잔류 필드가있다 $k'$.
항상 사실입니까? $K_1\cdot K_2$ 잔류 필드가있다 $k_1 \cdot k_2$? (어디$k_1,k_2$ 잔류 필드입니다 $K_1, K_2$)
제안 7.50을 증명하면 " $K_1\cdot K_2$ 잔류 필드가있다 $k_1 \cdot k_2$" 이러한 상황에서.
그러나 우리는이 제안을 증명하는 동안 그 사실을 사용할 수 없습니다.
이것을 어떻게 증명할 수 있습니까?
관심을 가져 주셔서 감사합니다.
reference (JS Milne의 Algebraic Number Theory )와이 포스트 1 : 동일한 잔류 필드를 갖는 비 분류 확장의 이상한 추론은 동일합니다.
답변
에 대한 $K/\Bbb{Q}_p$ 유한 확장 $F/K$ iff unramified $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ 와 $p\nmid n$ 과 $q= |O_F/(\pi_F)|$. 이것은 Hensel 기본형의 주요 응용 프로그램입니다.
언제 $E/K,E'/K$ 다음의 잔여 필드가 항상 발생하는 것은 아닙니다. $EE'$ 다음의 필드가 포함 된 가장 작은 필드입니다. $E,E'$, 시도 $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$.
언제 $E'/K$ 무분별하다 $EE'=E(\zeta_{q-1})$ 잔류 필드가 있음 $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$.