에 대한 증거 확인 $ f_{n}$균일한 연속성

Question

허락하다$f_{n}:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$

$f_{n}=\begin{cases} nx & \text{ if } 0\leq x\leq \frac{1}{n}\\ 1& \text{ if } \frac{1}{n}<x\leq 1 \end{cases}$

~이다$f_{n}\xrightarrow[]{uni}f$?

내 솔루션:

~을위한$x=0 ,f_{n}=0$

~을위한$0<x\leq 1$그것은 존재한다$n_{0}$그런$\frac{1}{n_{0}}<x $그래서$x>\frac{1}{n}$마다$n \geq n_{0} $ $\Rightarrow f_{n}\rightarrow f(x)=1$

이제 균일하게 진행되는지 확인하겠습니다.$1$

$\left | f_{n}-1 \right |\geq nx-1$마다$n\epsilon \mathbb{N},x\epsilon X$

$\left \| f_{n}-1\right \|>nx-2$허락하다$n\rightarrow +\infty $

$\left \| f_{n}-1\right \|\rightarrow +\infty $

불평등에 대해 잘 모르겠습니다. 괜찮습니까? 누군가가 그것을 공식적으로 증명할 수 있습니까?

Answer 1

아니요,$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$실제로 경계 시퀀스입니다. 물론,$0 \leq f_n(x) \leq 1$모든$n \in \mathbb{N}$그리고$x \in [0,1]$. 그래서 당신의 결론은$\|f_n-1\| \to \infty$부정확하다.

그것을 보는 가장 쉬운 방법은$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$균일하게 수렴하지 않는 것은 한계 함수가$f$불연속적입니다(참고$f_n$연속적). 그러나 연속 함수 시퀀스의 균일한 극한은 연속적이어야 합니다. 따라서 수렴은 균일할 수 없습니다.

Answer 2

하나는 \begin{equation} (f_{2n} - f_{n})\left(\frac{1}{2n}\right) = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{ 2}\quad \Longrightarrow \quad \|f_{2n}-f_{n}\|_{\infty}\ge \frac{1}{2}\end{equation} 따라서 수렴은 균일할 수 없습니다.