에 대한 순열 동작의 브레 돈 코 호모 로지 $S^3$
여기 와 여기 에서 Bredon cohomology의 계산을 확인하는 유사한 질문을 몇 개 보았습니다. 그래서 그러한 질문을 직접 할 것입니다.
허락하다 $\mathbb{Z}/2$ 행동하다 $S^3\subset \mathbb{C}^2$ 순열 작업의 제한으로 $\mathbb{C}^2.$ Bredon cohomology를 계산하고 싶었습니다. $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}}).$
복잡한 분해를 기반으로 한 세포 분해가 있습니다. $1$차원 디스크 $3$ 세포 : $\mathbb{D}=D\sqcup T\sqcup *.$ 여기 $T\sqcup *=S^1=\partial \mathbb{D}$ 과 $D$ 의 내부입니다 $\mathbb{D}.$ 그런 다음 분해가 $S^3=\mathbb{D}\times S^1 \cup S^1\times \mathbb{D}$ 호환되는 세포로 $\mathbb{Z}/2$ 동작.
행동의 고정 소수점 집합은 다음과 같이 주어진 원입니다. $\{z_1=z_2\}\cap S^3\subset \mathbb{C}^2.$ 궤도 범주 이후 $\mathbb{Z}/2$ 으로 구성되다 $*$ 과 $\mathbb{Z}/2$ 다음과 같은 등변 성 체인이 있습니다. \ begin {array} {| c | c | c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & * & \ mathbb {Z} / 2 & \ operatorname {다음에 해당하는 셀} \ underline {C} _n (S ^ 3) (\ mathbb {Z} / 2) \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} & \ mathbb {Z} & * \ times * \\ 1 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z }, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & T \ times *, * \ times T \\ 2 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ 윗줄 {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}; \; \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1} } \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\-1 \ end {pmatrix} & D \ times *, * \ times D, T \ times T \\ 3 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb { Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & D \ times T, T \ 시간 D \\ \ hline \ end {array}
그래서 코 체인은 $\underline{\mathbb{Z}}$ 아르:
\ begin {array} {| c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} \\ 1 & \ mathbb {Z} \\ 2 & \ mathbb {Z} \ \ 3 & \ mathbb {Z} \\ \ hline \ end {array} 이후$(T\times T)^*=0$ 코 체인에서 우리는 $\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}.$ 미분 $d_1$ 동형입니다. $\partial(D\times *)=T\times *.$ 그것은 보인다 $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=H^*(S^3;\mathbb{Z}).$
몫이 동질적인 구체라는 것은 나에게 조금 이상합니다. 물론입니다. 그룹$\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}$ 오리엔테이션이 보존 되었기 때문에 일부를 놓친 것 같습니다 $2$-낮은 정도의 비틀림?
답변
최종 답변은 맞지만 사용중인 세포 구조는 $G$-CW 구조 : $T\times T$ 이런 식으로 세포로 사용할 수 없습니다.
나는 다음과 같이 접근합니다. $G = {\mathbb Z}/2$ 의 위에 $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ 표현으로 쓸 수 있습니다 $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma$, 어디 $G$ 사소하게 행동하다 $\mathbb{C}$ 그리고 부정으로 $\mathbb{C}^\sigma$. 구$S(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma)$ 또한 원 포인트 압축입니다. $S^{1+2\lambda}$, 어디 $\lambda$ 실제 줄을 나타냅니다 $G$부정으로 행동합니다. 이것은$G$-CW 구조
- 하나 $G$-고정 0 셀,
- 하나 $G$-고정 1 셀,
- 하나 $G$-무료 2 셀 및
- 하나 $G$-무료 3 셀
그래서 skeleta는 $*$, $S^1$, $S^{1+\lambda}$, 및 $S^{1+2\lambda}$. 여기에서 당신은$\underline{\mathbb{Z}}$-cochain complex는 $$ \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{1} \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}. $$
답이 맞는지 확인하는 방법은 $$ H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0) \oplus \tilde H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0)\oplus \tilde H_G^{n-1-2\lambda}(S^0) $$ 그런 다음 알려진 계산을 사용하십시오. $RO(G)$-점의 동질성 등급 (원래 Stong (미 게시)으로 인해 여러 곳에 게시 됨).