에 이상적 $\mathbb{N}$ 특정 재산으로

Question

허락하다 $\mathcal{I}$ 이상이있다 $\mathbb{N}$모든 유한 집합과 하나 이상의 무한 집합을 포함합니다. 필터 정의

$\mathcal{F}:=\{D\subseteq\mathbb{N}\mid \forall A\in\mathcal{I},A\cap D^{c}\text{ is finite, or equivalently} A\subseteq^{*}D\}$.

$\mathcal{F}$ cofinite 필터를 포함하고 있으며 $\mathcal{I}$ 그럼 프라임 $\mathcal{F}$다른 것을 포함하지 않습니다. 그 반대가 성립합니까? 즉, 해당 필터가 공한 필터 인 경우 이상이 속성 P를 갖는다 고 가정 해 보겠습니다. P는 프라임과 같은가요? 아니면 P의 간단한 특성이 있습니까?

누군가는 이것이 요구하는 것과 동일하다고 제안했습니다. $\mathcal{E}\subseteq(\mathcal{P}_{coinf}(\mathbb{N}),\subseteq^{*})$ 제한되지 않은 $\subseteq^{*}$적절한 비 프라임 이상을 생성합니다. 나는이 포셋에 대해 아무것도 모른다는 것을 알았다. 공동 결승전 유형은 무엇입니까? 다음과 같은 다른 포셋과의 관계는 무엇입니까?$(\mathbb{N}^{\mathbb{N}},<^{*})$?

배경 : 토폴로지를 정의하면 $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ 특정 시퀀스 수렴을 요구하여 $\infty$, 더 많은 (그리고 어떤) 시퀀스가 ​​수렴됩니까? $\infty$우리가 예상했던 것보다. 이 질문 도 참조하십시오 .

Answer 1

주어진 $P_1,P_2$ 비 원칙적 주요 이상 $\mathbb{N}$ 와 $P_1\neq P_2$, 허락하다 $\mathcal{I}= P_1\cap P_2$. 그때$\mathcal{I}$ 유한 집합을 모두 포함하는 이상이지만 소수는 아닙니다. $A\subseteq \mathbb{N}$ 와 $A\notin P_1, A^c\notin P_2$).

하나 $\mathcal{I}$ 속성 P를 충족합니다. $D$ 공동 유한이 아니라 분할 할 수 있습니다. $D^c$ 으로 $4$ 무한 조각 : $D_{11,}D_{12},D_{21},D_{22}$. 그때$D_{i1}\cup D_{i2}\in P_1$ 일부 $i$ 과 $D_{1j}\cup D_{2j}\in P_2$ 일부 $j$. 그러므로$D_{ij}\in \mathcal{I}$ 과 $D_{ij}\cap D^c=D_{ij}$ 무한합니다.

Answer 2

허락하다 $X$ 부분 집합의 최대 거의 분리 된 패밀리 $\mathbb{N}$, 그리고 $\mathcal{I}$ 에 의해 생성 된 이상 $X$. 그때$\mathcal{F}$ cofinite 필터가됩니다. $D\in\mathcal{F}$ 그때 $D^c$ 의 모든 요소와 거의 분리되어 있습니다. $X$이므로 최대로 유한해야합니다. $X$. 하나,$\mathcal{I}$프라임이 아닙니다. 예를 들어, 두 개의 분리 된 셀 수없이 무한한 하위 가족을$Y,Z\subset X$, 간단한 대각 화 인수로 다음을 구성 할 수 있습니다. $A\subset\mathbb{N}$ 거의 모든 요소를 ​​포함 $Y$ 의 모든 요소와 거의 분리되어 있습니다. $Z$. 그때$A\not\in\mathcal{I}$ 모든 요소부터 $\mathcal{I}$ 유한 한 많은 요소와 무한 교차 $X$, 및 $A^c\not\in\mathcal{I}$ 같은 이유로.