어떤 값에 대해 $\alpha$ { $z_n$} 제한된 시퀀스?

Question

어디 $\alpha$ 실수 상수입니다. {$z_n$} 정의 $z_n=\frac{1}{n^\alpha}$. 어떤 값에 대해$\alpha$ {$z_n$} 제한된 시퀀스?

이런 종류의 질문으로 어떻게 시작합니까? 내 생각에는$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$ 시퀀스는 수렴하므로 경계가 있지만 어떻게 작성합니까?

Answer 1

만약 $\alpha=0$, $(z_n)$ 일정하므로 제한됩니다.

만약 $\alpha>0$, $(z_n)$ 0으로 수렴하므로 제한됩니다.

만약 $\alpha<0$, $(z_n)$ 분기하다 $+\infty$ 따라서 무제한입니다.

Answer 2

댓글에서 언급했듯이 정답이 있습니다. 남은 임무는 답에 대한 공식적인 설명을하는 것입니다. 답변을 작성하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다.

먼저 기능이 $f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$ 정의 $f(x) = x^{\beta}$ 만족하다 $$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$ 이 진술을 공식적으로 증명할 필요는 없다고 생각합니다. 교과서에 참조 할 수있는 진술이있을 가능성이 큽니다.

그것이 확립되면 문제를 해결하십시오. $3$ 사례 : 경우 $\alpha < 0$, 위의 사실을 사용하여 결론 $\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$이는 시퀀스가 ​​제한되지 않음을 의미합니다. 그 경우$\alpha = 0$, 결론 $z_n \to 0$, 이는 시퀀스가 ​​수렴하므로 경계가 있음을 의미합니다. 마찬가지로$\alpha > 0$, 결론 $z_n \to 0$즉, 시퀀스가 ​​수렴하므로 경계가 있습니다.

따라서 시퀀스는 다음과 같은 경우에만 제한됩니다. $\alpha \geq 0$.