어떤 조건에서 surjective 함수의 영역 $f:[a,b]\times[c,d]\to[0,1]^{2}$ 제한이 bijective로 분할 될 수 있습니까?
이에 대한 후속 질문 이 .
이러한 파티션을 항상 구성 할 수있는 것은 아니기 때문에 원하는 파티션이 해당 파티션에 존재하도록 부과 할 수있는 추가 제한이 있는지 알고 싶습니다. $n$차원 설정 ($n\geq 1$).
답변
이 질문에 대한 사소한 대답은 팽팽하다. 그러한 분할은 존재하는 경우에만 존재한다.
보다 유익한 답변은 거의 없습니다 (분명히 파티션이 존재하지 않는 한). 더 구체적으로, 그러한 파티션이 존재 하지 않는 경우 다음과 같은 반례를 고려하십시오 . 기능 정의$f\colon[0,1]^2\to[0,1]^2$ 공식으로 $$f(x,y):=\Big(x,\frac{y(y-g(x))^2}{(1-g(x))^2}\Big)$$ ...에 대한 $(x,y)\in[0,1]^2$, 어디 $g\colon[0,1]\to[0,1/2]$순조롭게 엄격하게 증가하는 함수입니다. 그런 다음 기능$f$ 매끄럽고 객관적입니다.
그러나 좌표축에 평행 한 변을 가진 유한 사각형 집합의 경우 이러한 사각형의 합집합은 다음과 같습니다. $[0,1]^2$, 제한 $f$이 직사각형 중 하나 이상은 bijective가 아닙니다. 사실, 이후$g$ 엄격하게 증가하고 있습니다. $G:=\{(x,g(x))\colon x\in[0,1]\}$ 의 $g$이러한 직사각형의 경계에 유한하게 많은 (실제로는 최대 2 개) 점만 있습니다. 우리는 그 직사각형이 유한하게 많기 때문에 점이있을 것입니다.$(u,v)=(u,g(u))\in G$ 그것은 직사각형 중 하나의 내부에 있습니다. $R$. 이 직사각형 위에$R$, 함수 $f$ bijective가 아닙니다. $t>0$ 방정식 $f(x,y)=(u,t)$ 최소한 두 가지 다른 솔루션이 있습니다. $R$. 사실, 방정식$f(x,y)=(u,t)$ 연립 방정식으로 다시 작성할 수 있습니다. $$x=u$$ 과 $$t=\frac{y(y-v)^2}{(1-v)^2},\tag{1}$$ 그리고 충분히 작은 각각에 대해 $t>0$ 방정식 (1)에는 두 개의 다른 뿌리가 있습니다 $y\approx v\pm(1-v)\sqrt{t/v}$, 가까운 $v$.
이 예의 교훈은 무엇입니까? 이 예에서는 그래프를 참조 할 수 있습니다.$G$ 기능의 $g$bijectivity가 유지할 수없는 분기 곡선으로. 예제에서 사용 된이 분기 곡선의 특성은 곡선의 모든 직사각형 경계에 유한 한 많은 점만 있다는 것입니다. 따라서 원하는 파티션이 명백하게 / 명명하게 존재하지 않는 한, 직사각형의 경계에 유한 한 많은 점만있는 분기 곡선이 있고 원하는 종류의 파티션이 존재하지 않습니다.
위의 논의는 차원에 관한 것입니다. $n=2$. 경우$n>2$ 유사합니다.이 경우 분기 곡선 대신 분기 하이퍼 서페이스를 갖게됩니다.
연결된 질문에서 문제가 개인 연구에서 발생했다고 말했습니다. 나는 당신의 연구가 잘못된 방향을 취했다고 생각하고 실제로 파티션을 반드시 직사각형으로 간주하지 않을 수도 있다고 생각합니다.