어떤 양의 정수 $n$ 기능을 최대화합니다 $f(n) = \sigma_0(n)/n$?

Nov 21 2020

친구와 나는 어느 기지가 가장 좋을지에 대해 토론하고있었습니다. 나는 12가 크기에 비해 가장 많은 제수를 가지고 있기 때문에 최고라고 주장했습니다. 그러나 실제로 12가이 비율을 최대화하는 숫자인지 확실하지 않습니다. 조사하기 위해 12가 기능을 최대화한다고 주장하여 내 관찰을 공식화했습니다.$f(z) = \sigma_0(z)/z$ 어디 $\sigma_0(n) = \sum_{d|n} d^0$ 제수를 세는 함수입니다. $n$. 몇 가지 기사와 흥미로운 속성을 찾았습니다.$\sigma_0$그러나이 속성을 증명하는 데 사용할 수있는 것은 없습니다. 나는 이런 종류의 일에 너무 익숙하지 않아서 어떻게해야할지 정확히 모르겠습니다.

이것을 증명할 수있는 방법에 대해 아는 사람이 있습니까? 지금 가장 유용한 공식은$$\sigma_o(n) = \Pi_{i = 1}^{\omega(n)}(1 - a_i)$$ 어디 $\omega(n)$ 고유 한 소인수의 수입니다. $b$ 그래서 $n = \Pi_{i = 1}^{\omega(n)}p_i^{a_i}$.

미리 감사드립니다!

편집 : 그것에 대해 조금 더 생각하면 12가 이것을 최대화하지 않는 것 같습니다. 예를 들어 6에는 4 개의 제수가 있고 12에는 6 개의 제수가 있습니다. 댓글 작성자도 지적했듯이 3에는 2 개의 제수가 있습니다. 그러나 가장 좋은 것은 2 인 것 같습니다. 만약$\sigma_0(n) = n$, 모두를 위해 $m \leq n$, 우리는 $m|n$. 그것은 모든 소수가$n$ 소인수 분해에 포함될 것입니다. $n$. 이것은 2 개만 보유하고 있다고 생각하는 상당히 강력한 속성입니다.

답변

2 jjagmath Nov 21 2020 at 07:38

먼저 $\displaystyle \frac{\sigma_0(n)}{n} = \prod_p \frac{\alpha_p+1}{p^{\alpha_p}}$ 어디 $\alpha_p \ge 0$.

그러나 $\displaystyle\frac{\alpha_p+1}{p^{\alpha_p}} < 1$ 모든 프라임 $p$ 그리고 다 $\alpha >0$ 유일한 예외는 $p = 2$$\alpha = 1$, 이는 모든 $\alpha$의는 $0$ ($n = 1$) 또는 $\alpha_2$ 아르 $0$$\alpha_2 = 1$ (n = 2).

1 QC_QAOA Nov 21 2020 at 07:17

에서 이 대답 , 우리는 알고

$$\sigma_0(n)\leq n^{\frac{1.0660186782977...}{\log \log n}}<n^{ \frac{2}{\log \log n}}$$

(평등으로 $n=6983776800$). 이것은 다음을 의미합니다.

$$\frac{\sigma_0(n)}{n}<n^{ \frac{2}{\log \log n}-1}$$

이제는 쉽게 볼 수 있습니다. $n\geq 1619$ 우리는

$$\frac{2}{\log \log n}-1<0$$

그런 다음 $n\geq 1619$ 우린 알아

$$\frac{\sigma_0(n)}{n}<n^{ \frac{2}{\log \log n}-1}<n^0=1$$

그러나

$$\frac{\sigma_0(1)}{1}=\frac{\sigma_0(2)}{2}=1$$

이제 모든 정수만 확인하면됩니다. $3\leq n\leq 1618$. 이것들은 쉽게 확인할 수 있으며 우리는 함수가$n\in\{1,2\}$.


편집 : 당신이 사건을 원한다면 $n\geq 3$, 거의 동일한 방식으로 $n\geq 2880$ 우리는

$$n^{\frac{2}{\log \log n}-1}<\frac{3}{4}$$

그런 다음 모든 정수를 확인한 후 $5\leq n\leq 2879$ 우리는 함수가 $n=4$ 어디

$$\frac{\sigma_0(4)}{4}=\frac{3}{4}$$