$f(yf(x) + y) = xy + f(y)$ 모든 $x, y.$ 알다 $f$ 추측적임 [중복]

Question

나는 며칠 동안이 문제를 고수하고 있습니다. f는$\mathbb{R}$ ...에 $\mathbb{R}$ 만족 :

$$f(yf(x) + y) = xy + f(y) \qquad \forall x, y \in \mathbb{R}$$

알다 $f$ 따라서 모든 함수가이 방정식을 충족한다는 것을 알 수 있습니다.

나는 수정 생각 $x$ 과 $y$ 상수로 기능을 연구하는 것이 좋은 생각 일 수 있지만 지금까지는 $x=1,0$ 과 $y=1,0,$ 그리고 그들은 대담함을 증명하는 데 도움이되지 않는 것 같았습니다.

도움을 주시면 감사하겠습니다. 감사!

(주사율 증명은 쉽습니다)

Answer 1

허락하다 $f(1)=a$. 그런 다음 설정$y=1$, 우리는 $$ f\big(f(x) + 1\big) = x + a, \quad \text{for all $x \ in \ mathbb R$}, $$ 그것은 의미 $$ f\big(f(x-a) + 1\big) = x, \quad \text{for all $x \ in \ mathbb R$}. $$

Answer 2

먼저 다음을 정의하여$ g(x,y)=yf(x)+y$ , 찾은 주입법을 사용하여 $f \circ g(0,y) $, f (0) = 0임을 알 수 있습니다.
이제 (1, y) st를 찾으십시오.$f \circ g (1,y)$isnt0, C
라고 말하십시오. 실수가 있다고 음으로 가정하십시오 .$M_0$ 성 $ M_0 $ Im (f)에 없습니다.
$ f \circ g (1,y) = f(y) +y $
이 경우 (주어진 평등에 의해) $ y \in \mathbb{R} $, $M_0 +y $ Im (f)에 없습니다. $y=c-M_0$

Answer 3

기본형 (1) : $f(f(x)+1) = x+f(1)$.

Lemma 증명 (1) : let $y = 1$.

기본형 (2) : $f$ 주사제입니다.

모순에 의한 기본 정리 증명 (2) : if $x \neq y$ 과 $f(x) = f(y)$, 다음

$f(f(x)+1) = f(f(y)+1) = x = y$, 모순되는 $x \neq y$.

정리 (3) : $f$ 추측 성 :

기본형 증명 (3) : 기본형 별 (1), $f(f(x-f(1))+1) = x - f(1) + f(1) = x$.

기본형 (4) : $f(0) = 0$.

기본형 증명 (4) : 기본형 별 (1) :

$f(f(0)+1) = f(1)$.

의 주입성에 의해 $f$, $f(0) + 1 = 1$, 다음 $f(0) = 0$.

나는 증명에 집착했다 $f(1) = 1$...