가장 큰 원과 가장 작은 원의 동질성 중심을 나타 내기 위해 T에 대한 공통 접선에 있습니다.

Question

$c_1$ 중심에 $A$ 통과 $B$.

$BB′$ 직경 $c_1$.

$T$ 세그먼트의 임의 지점 $BB′$.

$c_2$ 중심에 $B′$ 통과 $T$.

$c_3$ 중심에 $B$ 통과 $T$.

$c_4$ 외부 접선 $c_2$ 과 $c_3$ 내부적으로 접선 $c_1$

$F$ 의 중심 $c_4$ 과 $H,I$ 접선 점입니다.

나에게 분명하다. $Z = HI \cap AF$ 두 번째 동질성 중심 $c_1$ 과 $c_4$ 그리고 그것이 또한 수직선에 있다는 것을 증명하고 싶습니다 $AB$ ...을 통하여 $T$.

알아야 할 중요한 관련 결과 : 이 세 개의 원이 외부 공통 접선을 공유 함을 보여줍니다.

이것은 소디 서클에 대한 일반적인 결과 인 것 같습니다.

Answer 1

• 공통 접선을 $T$ 만나다 $AF$ ...에서 $Y$ 그리고 수직으로 두십시오 $AB$ ...을 통하여 $F$ 만나다 $AB$ ...에서 $L$.

  
  그런 다음 우리는$y=LT$ 피타고라스 정리 : $$ B'F^2-B'L^2 = LF^2 =BF^2-BL^2$$ 그래서 $$ (b+c)^2-(b-y)^2 = (2a+b+c)^2-(2a+b+y)^2$$ 그래서 우리는 $$y= {ac\over a+b}$$ 그래서 $${AY\over FY} = {AT\over LT} = {a\over y} = {a+b\over c}$$

• 반면에 $X$ 에있다 $HI\cap AF$.

  
  Homothety$H_1$ ...에서 $H$ 및 계수 ${b\over c}$ 소요 $F$ ...에 $B'$ 그리고 동질성 $H_2$ ...에서 $G$ 및 계수 ${a+b\over b}$ 소요 $B'$ ...에 $A$, 그래서 구성 $H_2\circ H_1$ 소요 $F$ ...에 $A$ 그리고 중심이 $FA\cap GH =X$. 이 구성에는 계수가 있습니다.$${a+b\over b}\cdot {b\over c} = {a+b\over c}$$ 그래서 $X$ 분할 $AF$ 같은 비율로 $Y$ 따라서 $X=Y$ 그리고 우리는 끝났습니다.

Answer 2

Aqua의 답변에 대한 주장은 다음과 같이 단축 될 수 있습니다. 동일한 포인트 이름을 사용하지만 여기서는$a,b,c$ 중심에있는 원의 반지름 $A,B',F$ 각각 (이것은의 의미를 변경 $a$). 허락하다$LT:TA$ 있다 $x$.

Yiu의 Triangle Geometry, pg 2에 설명 된대로 내부 동질 중심$X$ 두 원의 (일명 내부 유사 중심) $O(R),I(r)$ 세그먼트를 나눕니다 $OI$ 비율로 $R:r$. 따라서 내부 동 질적 포인트$F(c),A(a)$ 분할 $FA$ 비율로 $c:a$.

Aqua의 대답 에서와 같이 피타고라스의 정리를 사용 하면

$$ (b+c)^2-(b-x(a-b))^2=(2a=b+c)^2-(2a-b+x(a-b))^2 $$

해결 $x$( 게으른 경우 온라인 솔버 사용 )$x=\dfrac{c}{a}$. 그러므로

$$ FY:YA = LT:TA = x = c:a, $$

그래서 $Y$ 내부 동 질적 중심입니다 $c_1,c_4$.