감소 된 밀도 연산자를 찾기 위해 두 번째 큐 비트를 어떻게 추적합니까? [복제]
첫 번째 큐 비트에 대한 감소 된 밀도 연산자를 찾기 위해 두 번째 큐 비트를 추적하는 연습을하고 있습니다.
$tr_2|11\rangle\langle00| = |1\rangle\langle0|\langle0|1\rangle$
나는 첫 번째 큐 비트에 대한 추적을 수행하는지 궁금합니다.
$tr_1|11\rangle\langle00| = |1\rangle\langle0|\langle0|1\rangle$ 또는 $tr_1|11\rangle\langle00| = \langle0|1\rangle|1\rangle\langle0|$ ?
Nielsen-and-Chuang 교과서에는 $tr(|b_1\rangle\langle b_2|)=\langle b_2|b_1\rangle$. 왼쪽과 오른쪽이 행렬에서 요소를 찾는 두 가지 방법이라고 말할 수 있습니까? 감사!!
답변
상태가 있다고 가정합니다. $|\psi\rangle = \dfrac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $ 밀도 행렬 표현은
$$ \rho = |\psi \rangle \langle \psi | = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
이제 하위 시스템 을 추적 하려면$B$ 시스템의 밀도 연산자를 찾으려면 $A$ 로 표시 $\rho_A$ 그런 다음 다음을 수행 할 수 있습니다.
$$ \rho_A = Tr_B(\rho) = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
그것은 밝혀졌다 $\rho_B = Tr_A(\rho)$ 와 같다 $\rho_A$ 여기와 상태를 보면 그 이유를 예상 할 수 있습니다.
보다 일반적으로 밀도 연산자를 제공합니다.
$$ \rho = \begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{12} & \rho_{13} & \rho_{14}\\ \rho_{21} & \rho_{22} & \rho_{23} & \rho_{24}\\ \rho_{31} & \rho_{32} & \rho_{33} & \rho_{34} \\ \rho_{41} & \rho_{42} & \rho_{43} & \rho_{44} \end{pmatrix}$$
그때
$$ \rho_A = Tr_B(\rho) = \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{12}\\\rho_{21} & \rho_{22} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} \rho_{13} & \rho_{14} \\ \rho_{23} & \rho_{24} \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} \rho_{31} & \rho_{32} \\ \rho_{41} & \rho_{42} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix}\rho_{33} & \rho_{34} \\ \rho_{43} & \rho_{44} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho_{11} + \rho_{22} & \rho_{13} + \rho_{24} \\ \rho_{31} + \rho_{42} & \rho_{33} + \rho_{44} \end{pmatrix} $$
과
$$ \rho_B = Tr_A(\rho) = \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{13}\\\rho_{31} & \rho_{33} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} \rho_{12} & \rho_{14} \\ \rho_{32} & \rho_{34} \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} \rho_{21} & \rho_{23} \\ \rho_{41} & \rho_{43} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix}\rho_{22} & \rho_{24} \\ \rho_{42} & \rho_{44} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho_{11} + \rho_{33} & \rho_{12} + \rho_{34} \\ \rho_{21} + \rho_{43} & \rho_{22} + \rho_{44} \end{pmatrix} $$
주를이 분제 시스템으로 나누면 $\rho_{AB} \in \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ 부분 추적에 대한 하나의 일반 공식은 다음과 같습니다.
$$ \text{Tr}_B (\rho) = \sum_{j} (I_A \otimes \langle j |_B) \rho (I_A \otimes | j \rangle_B) $$
어디 $\{ |j\rangle \}$ 시스템의 기초 $B$. 귀하의 경우 첫 번째 진술의 경우이 공식을 사용하여
\begin{align} \text{Tr}_B (|11\rangle\langle00|) &= \sum_{j} (I_A \otimes \langle j |_B) |11\rangle\langle00| (I_A \otimes | j \rangle_B) \\ &= (I_A \otimes \langle 0 |_B) |1\rangle_A |1\rangle_B \langle0|_A \langle0|_B (I_A \otimes | 0 \rangle_B) \\ &\qquad+ (I_A \otimes \langle 1 |_B) |1\rangle_A |1\rangle_B \langle0|_A \langle0|_B (I_A \otimes | 1 \rangle_B)\\ &= |1\rangle\langle0|_A (\langle 0|1\rangle\langle 0|0\rangle) + |1\rangle\langle 0|_A(\langle1|1\rangle\langle0|1\rangle) \\ &= |1\rangle\langle0|_A \langle 0| 1\rangle (\langle 0|0\rangle + \langle 1|1\rangle) \\ &= 0 \end{align} 비슷한 계산을 통해 두 번째 문을 도출 할 수 있습니다.