강력한 토폴로지에서 볼록, 경계 및 폐쇄 $\Rightarrow$ 약한 토폴로지에서 압축
질문은 다음과 같습니다.
허락하다 $X$ 반사적 인 Banach 공간이고 $K \subset X$ 세트.
i) 주어진 $r > 0$ 응용 프로그램 정의 $T_r: X \rightarrow X$ 같이 $T(x) = rx$. 보여줘$T_r$ 계속 고려하고 있습니다 $X$ 도메인 및 카운터 도메인의 약한 토폴로지.
ii) $K$ 강력한 토폴로지에서 볼록하고 경계가 있고 닫힙니다. $K$ 약한 토폴로지에서 간결합니다.
i) 항목의 경우 Banach 공간 사이의 선형 적용은 두 공간이 모두 강력한 토폴로지를 사용할 때 연속적인 경우에만 약한 토폴로지를 사용할 때 연속적이라는 것을 사용했습니다. 이후$T_r$ 강력한 토폴로지에 제한되어 있고 연속적이므로 약한 토폴로지에서 연속적입니다.
나는 이것이 항목 ii)에 어떻게 도움이되는지 이해하지 못한다.
답변
연속 함수는 압축 집합을 압축 집합에 매핑합니다. 그래서 i) Banach-Alaoglu와 함께 모든 공이$0$ 컴팩트합니다.
묶여 있고, $K$공 안에 있습니다. 볼록하고 닫혀있어 약하게 닫혀 있습니다. Hausdorff 공간에있는 소형 세트의 닫힌 서브 세트는 소형입니다.
또한 i)에 대한 이론이 실제로 필요하지 않습니다. 만약$x_n\to x$ 약하게, 이것은 의미 $f(x_n)\to f(x)$ 모든 $f\in X^*$. 지금$$ f(T_rx_n)=f(rx_n)=rf(x_n)\to rf(x)=f(rx)=f(T_rx),\qquad f\in X^*. $$ 그래서 $T_rx_n\to T_rx$ 약하고 $T_r$ 연속적입니다 (여기서는 그물로 작업하고 있지만 인수는 변경되지 않습니다).