거리 인 함수 찾기 $1$ ...에서 $x^2$ 법선을 따라 [중복]

Dec 01 2020

그래서 최근에 여러 가지 방법을 시도했지만 해결하지 못한 문제를 생각했습니다. 설명하는 것은 매우 간단합니다 ...

거리 인 함수 찾기 $1$ 포물선에서 $y=x^2$법선을 따라. 내 말의 시각 .


제가 시도한 것 중 하나는 ...

이 함수는 해당하는 $x$ 우리가 찾고자하는 함수의 값은 $x$ 곡선의 가치 $y=x^2$. 역은 해당$x $ 가치 $x^2$ 주어진 $x$ 값을 결정하는 것이 사소한 $y$ 값. $$ f(x)=x+\sin(\arctan(2x)) $$ 이것은 이것으로 해결할 수 있습니다 ... $$ f(x)=x+\frac{2x\sqrt{1+4x^2}}{1+4x^2} $$ 그러나 나는이 함수의 역을 얻는 방법을 모릅니다.

답변

martycohen Dec 01 2020 at 09:45

$(f-x)=2x/\sqrt{1+4x^2}$ 그래서 $(f-x)^2(1+4x^2)=4x^2$ 또는 Wolfy에 따르면 $4 f^2 x^2 + f^2 - 8 f x^3 - 2 f x + 4 x^4 - 3 x^2 = 0$.

이것은 쿼틱입니다 $x$ 해결할 수 있지만 예상대로 엄청나게 지저분합니다.

Raffaele Dec 01 2020 at 11:52

궤적의 매개 변수 방정식을 찾았습니다.

$$ \begin{cases} x=2 t^3-\frac{8 t^5}{4 t^2+1}-\frac{2 t^3}{4 t^2+1}+t +\frac{2 t}{\sqrt{4 t^2+1}}\\ y= \frac{4 t^4+t^2-\sqrt{4 t^2+1}}{4 t^2+1}\\ \end{cases} $$


Narasimham Dec 01 2020 at 12:33

표준 매개 변수화에서 오프셋하여 수정할 수 있습니다. 익숙한$ f=1, r= (-0.2,0,+0.2)$ 플롯에서 (그래프 명확성을 위해 1.0 대신 오프셋 0.2 사용).

f = 1; r = 0;
g1 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic]
 r = 0.2;
g2 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  PlotStyle -> {Thick, Blue}]
r = -0.2;
g3 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic, PlotStyle -> {Thick, Red}]
Show[{g1, g2, g3}, PlotRange -> All]

오프셋을 사용하여 법선과 접선을 따라 거리를 추가하거나 제거합니다. $r$ $$ (x,y)= ( 2 f t,f t^2 ) ;\; t = \tan \phi $$

$$ x_1= x - r \sin \phi, y_1= y+ r \cos \phi $$