거의 대각 행렬의 고유 값 [중복]

Question

나는 대각선 행렬의 고유 값이 단순히 대각선의 값이라는 것을 알고 있습니다. 그러나 다음 형식의 행렬이있는 경우 :

$$ \begin{bmatrix} a & b & 0 & 0 \\ b & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & e & f \end{bmatrix}. $$이 행렬의 고유 값을 표현하는 닫힌 형식 방법이 있습니까? 대각선을 따라 작은 블록의 고유 값을 유도 할 수 있지만 전체 행렬과 어떤 관련이 있습니까?

Answer 1

블록 대각 행렬의 고유 값은 각 블록의 고유 값입니다. 대응하는 고유 벡터는 0으로 채워진 각 블록의 고유 벡터입니다. 예를 들면 :

행렬의 고유 값 $$A = \begin{bmatrix}4 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ 아르 $7$ 과 $1$, 대응하는 고유 벡터는 각각 $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}.$$

행렬의 고유 값 $$B = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$$ 아르 $2+\sqrt{2}$, $2$, 및 $2-\sqrt{2}$ 대응하는 고유 벡터는 각각 $$\begin{bmatrix}1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}-1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$

행렬의 고유 값 $$\begin{bmatrix}A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$ 아르 $7$, $1$, $2+\sqrt{2}$, $2$, 및 $2-\sqrt{2}$, 대응하는 고유 벡터는 각각 $$\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2}\end{bmatrix}, \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1/\sqrt{2} \\ 1/2\end{bmatrix}.$$

Answer 2

블록 행렬이있는 경우 $$\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix},$$ 그것의 특징적인 다항식은 $p_A(x)p_B(x)$.