그 순위를 보여주세요 ( $A^{n+1}$) = 순위 ( $A^n$) [중복]

Nov 29 2020

가정 $A$ 이다 $n \times n$ 매트릭스 즉 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$, 그 순위 증명 ($A^{n+1}$) = 순위 ($A^n$). 즉, 범위 공간 또는 널 공간이 동일하다는 것을 증명해야합니다. 도움이된다면$A$ 특이 행렬입니다.

이것을 증명하기 위해 Jordan 블록을 사용하고 싶지 않습니다. 조던 양식을 사용하지 않고 증명할 수 있습니까? Schur의 삼각 화 정리를 사용할 수 있습니다. 또한 A가 대각 화 가능한지 여부는 알 수 없습니다.

답변

3 Lapin Nov 28 2020 at 23:23

$\newcommand{\rg}{\operatorname{range}}$ 분명히 모든 $m$, $\rg A^{m+1}\subset\rg A^{m}$, 그래서 만약 $d_m=\dim\rg A^m$, $d_{m+1}\le d_m$. 만약$d_{m+1}=d_m$ 일부 $m$, 다음 $\rg A^{m+1}=\rg A^{m}$ 따라서 $\rg A^m=\rg A^{m+1}=\rg A^{m+2}=\dotsb{}$. 즉, 시퀀스$d_0,d_1,\dots$하강을 멈 추면 일정 해집니다.
때문에$d_0= n$, 시퀀스는 내림차순을 중지해야합니다. $n$ 자귀.

편집 : 주석에서 표현한 문제에 대해 $\rg A^{m+1}=\{AA^{m}y:y\in \mathbb C^n\}=\{Ax:x=A^my\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^m\}$,
그러므로$\rg A^{m}=\rg A^{m+1}\implies$
$\rg A^{m+1}=\{Ax:x\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^{m+1}\}=\rg A^{m+2}$.

2 mathcounterexamples.net Nov 28 2020 at 23:24

힌트

증명할 수 있습니다. $k \ge 0$ $$\mathrm{rank}(A^{k+2}) - \mathrm{rank}(A^{k+1}) \le \mathrm{rank}(A^{k+1}) - \mathrm{rank}(A^{k})$$

따라서, $$\mathrm{rank}(A^{n+1}) < \mathrm{rank}(A^{n})$$ 모순을 암시합니다 $\mathrm{rank}(A) \gt n$.

user2432923 Nov 29 2020 at 00:14

모든 것은 $n$. 그래서 이것은 n에 대한 완전한 귀납에 대한 좋은 사례입니다.

n = 1 : A = 실수 또는 복소수이며 0이 아닙니다. $Rank(A)=1=Rank(A^{n=1})=n=1=rank(a^2)=rank(A^2)=rank(A^{n+1})$

에 대한 $n$ 자연 스럽습니다. $true$.

에 대한 $n+1$ 케이스에 대해 정확히 한 행 또는 열의 변경 $n$. 이 행 또는 열은 A를 구성하는 다른 하나에 선형 종속되지 않을 수 있습니다.$n$. 는 열 또는 행에있는 하나 이상의 요소가 A에 추가 된 차원에서 정확히 0이 아닌 것을 암시 적으로 암시합니다.$n$.

이제 동일한 정의를 사용할 수 있습니다. $rank$정사각형 행렬의. 일반성을 제한하면 추가 된 행이나 열에는 0이 아닌 요소가 하나만 있습니다. 이것은 예를 들어 결정적 발달에서 요인으로 작용하거나 새로운 고유 값 또는 행렬 A입니다.$n+1$. 따라서 결정자는 적어도 그 개발에서 0이 아닙니다. 왜냐하면 우리는 0이 아닌 값을 가지고 있고 우리 A의 행렬식이$n$ 0이 아니고 $rank(A)=n$.

유도 단계의 주요 아이디어 는 일반적으로 비 특이 행렬의 곱셈에 의한 행렬 순위 또는 순위 결과의 링입니다 .$A$그 자체로 특별히. 0이 아닌 행렬$rank$곱셈에서 순위를 유지하십시오. 고려중인 곱셈은 A 만 곱하기 때문에 교환 적입니다. 이것은 다음에 대한 가설의 또 다른 지표입니다.$n+1$. 고유 값과 Schur 분해는 밀접한 관련이 있습니다. Schur 분해의 행렬 중 하나는 상위 삼각형 행렬입니다. 따라서 차원을$n$ ...에 $n+1$ 새 차원의 값만있는 unite 벡터의 마지막 행과 열이 있으면 다른 마지막을 추가합니다.

Schur 분해는 행렬과 동일합니다. $𝐴∈ℂ^{𝑛+1×𝑛+1}$ 매트릭스에 의존하는 속성이 있습니다. $𝐴∈ℂ^{𝑛×𝑛}$. 매트릭스$rank$ 그룹에서 보호하에 서로 변형 될 수 있습니다 $rank$. 그리고 증명이 완료되었습니다.