근거 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ 선택의 공리를 의미합니까?

Question

허락하다 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ 벡터 공간을 나타냅니다. $\mathbb{R}$구성 요소에 의해 정의 된 곱셈과 덧셈이있는 실수 시퀀스 부분 공간이$\mathbb{R}^\infty$ 제한된 수의 0이 아닌 항만있는 시퀀스의 $\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0, 0, \ldots), \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0, 0, \ldots)$, 이것은 기초가 아닙니다 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ (불변 시퀀스 표현 $(1, 1, 1, \ldots)$ 무한한 합계가 필요합니다 $\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 + \cdots$, 일반 벡터 공간의 무한 합계는 정의되지 않음). 또한 모든 벡터 공간에 기초가 있다는 진술이 선택한 공리와 동일 하다는 것이 입증 되었습니다 .

그래도 특정 공간에 관심이 있습니다. $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. 이 세트의 기반이 선택 공리를 필요로하며 명시 적으로 설명 할 수 없다는 것이 입증 되었습니까? 이것은 숙제 질문이 아닙니다. 그냥 궁금 해요.

Answer 1

특정 속성을 인정하는 단일 콘크리트 세트는 선택의 공리를 의미하지 않습니다. 기간. 선택의 공리는 글로벌 문이며, 특정 속성을 가진 집합에 대한 문은 로컬입니다 (전역 문에 대해 말하는 것이 아닙니다. 예 : "모든 집합에 대해$A$, $A\times X$ 잘 정렬 될 수 있음 "은 고정 세트에 대한 선택 공리를 의미합니다. $X$, 그것은 속임수입니다).

우리는 선택의 공리가 실패하기를 바라는 것처럼 항상 실패 할 수 있습니다. 반면에 실수와 당신이 신경 써야 할 모든 세트는 잘 정렬되어 "중요한"모든 벡터 공간이 기초. 즉, 선택 공리는 글로벌 진술이므로 부정은 한 세트 에 관한 것이 아닙니다 . 반례의 존재에 관한 것입니다.

(실제로 필드가 있는지조차 모릅니다. $F$ "모든 벡터 공간이 $F$ "근거를 갖는다"는 선택의 공리를 의미하며, 지역적 진술로 위장한 전역 적 진술을 말합니다.)

반면에 모든 실수 세트에는 Baire 속성이 있다는 것이 일관성이 있으며, 이는 모든 선형 $T\colon\Bbb{R^N\to R^N}$연속적입니다. 아아, 분리 가능한 공간이기 때문에$2^{\aleph_0}$연속 기능; 그러나 우리는 쉽게$\Bbb{R^N}$ 크기가 있어야합니다 $2^{\aleph_0}$ 뿐만 아니라, 따라서 $2^{2^{\aleph_0}}$이러한 기저의 순열에 의해 유도 된 선형 함수. 따라서 실제로 모든 레알 세트가 Baire 속성을 가지고 있다면$\Bbb{R^N}$ 존재할 수 있습니다.