긍정적 인 현실은 만족시킨다 $ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $, 다음 수량의 최대 결정
따라서 긍정적 인 현실은 다음을 충족합니다.
$$ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $$
그리고 다음 수량의 최대 값을 찾아야합니다.
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$
이제 Cauchy Schwarz 불평등을 사용하여
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right)^2 \leqslant \underbrace{(1+1+\cdots + 1)}_{\text{24 times}} \left( \sum_{i=1}^{24} x_i \right) $$
이것은
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \leqslant \sqrt{24} $$
나는 다른 부분에 붙어 있습니다. 비슷한 기술을 사용하여 다음의 최소값을 얻을 수 있습니다.
$$ \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$
하지만이 두 가지를 결합하려면이 양을 최대한 늘려야합니다. 모든 힌트가 도움이 될 것입니다.
답변
두 번째 합은 다음과 같이 바인딩 할 수 있습니다. Cauchy-Schwarz 부등식을 사용하면 다음과 같습니다.
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)\underbrace{(1+1+\cdots +1)}_{\text{24 times}} $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \, \cdots \cdots \cdots(1) $$
이제 Hölder의 부등식을 사용하겠습니다.
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{24} (1+x_i) \right)^{1/2} \leqslant \left[ \sum_{i=1}^{24} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x_i}}\right) \left(\sqrt{1+x_i}\right) \right] $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \sqrt{25} \leqslant 24 $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^2}{25} $$
$$ 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^3}{25} $$
그래서 방정식과 결합하면 $(1)$, 나는 얻다,
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \frac{24^3}{25} $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{3/2}}{5} $$
마지막으로 두 합계를 결합하면
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \sqrt{24} \,\frac{24^{3/2}}{5} $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{2}}{5} $$
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