긍정적 인 정의

Aug 21 2020

나는 노트를보고있다 http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~s.settepanella/teachingfile/Calculus/Calculus1/pagine/lecture8.pdf.

다음은 대칭과 동일하다고 말합니다. $H$:

(1) $H$ 양수입니다.

(2) $x^THx > 0$

(삼) $\lambda_i(H) > 0$

(4) $\det(H) > 0$ ! ??????

(5) 대각선 항목 $H_{ii}$ 긍정적입니다! ?????

(4)와 (5)는 그들이 속한 것 같지 않습니다. (4)는 필요한 조건입니다$H$확실하지만 충분하지는 않습니다. 고려$2 \times 2$2 개의 음의 고유 값을 가진 행렬. 행렬은 양의 정부 호가 아니지만 양의 행렬식을 갖습니다. 우리가 대각선 행렬에 대해 이야기하지 않는 한 전에 (5)에 대해 들어 본 적이 없습니다. 이것도 틀리지 않나요?

답변

3 Bungo Aug 21 2020 at 08:49

(4)는 거짓입니다. 반례를 위해 고려하십시오$H = -I$ 어디 $I$ 이다 $2\times 2$단위 행렬. 그런 다음 0이 아닌 경우$x$, 우리는 $x^T H x = -x^T x < 0$, 그래서 $H$ 확실하지 않습니다.

(5)도 거짓입니다. 중히 여기다$H = \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, 결정자가 있습니다. $-3$. 이것은 고유 값 중 하나가 음수임을 의미합니다. 특히,$\lambda = -1$ 예를 들어 고유 벡터가있는 고유 값입니다. $x = \displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$. 그때$x^T H x = x^T(Hx) = x^T(\lambda x) = -x^T x < 0$, 그래서 $H$ 확실하지 않습니다.