기대치에 대한 질문
허락하다 $p$ 사이의 실수 $0$ 과 $1$. Simone은 확률로 앞선 동전을 가지고 있습니다.$p$ 확률로 꼬리 $1-p$; 그녀는 또한 칠판에 숫자가 적혀 있습니다. 그녀는 1 분마다 동전을 뒤집고 앞면이 나오면 숫자를 바꿉니다.$x$ 칠판에 $3x+1$; 꼬리가 떨어지면 그녀는$\frac x2$.
상수가 있다는 것을 감안할 때 $a,b$ 그런 다음 칠판에 쓰여진 값의 예상 값이 $t$ 분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $at+b$ 모든 양의 정수 $t$, 계산 $p$.
내 유일한 아이디어는 이항 분포처럼 느껴지지만 다른 무작위 변수가 있다는 것입니다. 그래서 나는 앞면 수의 예상 값이$tp$, 그리고 그건 $t(1−p)$꼬리의 수. 하지만 선형 연산을 변경하는 것에 대해 생각할 때$x$. 나는 완전히 혼란 스럽다. 중요한 점은 활용 방법을 모른다는 점이라고 생각합니다.$at+b$ 질환.
어떤 아이디어 나 힌트를 주시면 감사하겠습니다.
kimichi와 lulu의 힌트 덕분에이 질문에 대해 많은 진전을 얻었습니다. 아래는 내가 가진 가장 먼 곳입니다.
$\left(\frac {5p+1}{2}\right)^{t-1}\left(1-\frac {5p+1}{2}-\frac px\right)=t\left(\frac px-1\right)+1+\frac {2}{1-5p}$
어디 $x$ 일정하며 $p$이것은 확률입니다. 또한이 방정식은 모든 양의 정수에 적용됩니다.$t$.
말. kimichi가 해결 한 문제; 또한 lulu의 유용한 제안에 감사드립니다. 그럼에도 불구하고 다른 새로운 접근 방식은 언제나 환영합니다.
답변
후 $t$ 던지기, Simone의 예상 재산 $f(t)$ 다음과 같은 표현으로 주어집니다. $t$-행렬의 제곱 : $$\pmatrix{f(t)\\1}=\pmatrix{3p+q/2&p\\0&1}^t\pmatrix{x\\1}=M^t\pmatrix{x\\1},\tag1$$ 어디 $$ M=\pmatrix{3p+q/2&p\\0&1}=pH +q T$$ 어디 $$H = \pmatrix{3&1\\0&1}\text{ and } T=\pmatrix{1/2&0\\0&1}$$ 단일 머리 또는 단일 꼬리를 볼 때 Simone의 재산에 대한 업데이트 규칙입니다. $x\to3x+1$, 꼬리 인 경우 $x\to x/2$.
다른 말로하면 $H$ 벡터를 변환 $\pmatrix{x\\1}$ 벡터에 $\pmatrix{3x+1\\1}$, 및 $T$ 벡터를 변환 $\pmatrix{x\\1}$ 벡터에 $\pmatrix{x/2\\1}$. "머리, 꼬리, 꼬리"와 같은 특정 순서의 동전 던지기 결과는 초기 벡터의 변환을 생성합니다.$v=\pmatrix{1\\1}$ ...에 $TTHv$. 8 개의 가능한 3 개 길이의 모든 결과 시퀀스에 대한 예상 결과는 다음과 같습니다.$(pH+qT)(pH+qT)(pH+qT)v$등, 위의 (1)을 산출합니다.
조정 (1) $at+b$ Ansatz 는 다음과 관련된 추가 방정식을 생성합니다.$p$. 즉, 지수 의존성을 피하기 위해$t$, 행렬 $M$ 형식이어야합니다. $M=\pmatrix{1&p\\0&1}$, 그건, $3p+(1-p)/2=1$ 또는 $p=1/5$. (형태$M=\pmatrix{0&p\\0&1}$ 다음의 경우 가능하지 않습니다 $p$ 확률입니다.)
이 문제를 해결하는 또 다른 매우 영리한 방법이 있는데, 제 아카데미의 한 교사가 가르쳤습니다.
허락하다 $a_n$ 이후 예상 값을 나타냅니다. $n$ 의사록.
$a_{n+1}=p(3a_n+1)+(1-p)(a_n/2)$
그런 다음 강한 가정으로 $a_n=an+b$ 선형이므로 $a_{n+1}-a_n=a$. 마지막 줄 표현식을$a_{n+1}$ 이 앞의 방정식으로, 우리는 얻을 것입니다 $\left(\left(\frac {5p+1}{2}\right)-1\right)a_n+p=a$. 때문에$a_n$ 다양하다 $n$, 계수는 $0$, 이어지는 $p=\frac 15$.