기능이 계속 켜져 있음을 보여줍니다. $[-1,1]$

Question

$f(x)=\mid{x}\mid$

허락하다 $a\in(-1,1)$

$\mid f(x)-f(a)\mid=\mid\mid x\mid-\mid a\mid\mid\leq\mid x-a\mid$

허락하다 $\epsilon>0$ 주어지고 정의하다 $\delta=\epsilon$, 언제든 $\mid x-a\mid<\delta,\space \mid f(x)-f(a)\mid<\epsilon.$

$\therefore f(x)$ 간격에서 연속 $(-1,1)$

또한, $\lim_{x\to-1^+}f(x)=1=\lim_{x\to-1}f(x)$ 과 $\lim_{x\to1^-}f(x)=1=\lim_{x\to1}f(x)$

$\therefore f(x) $ 오른쪽에 연속 $-1$ 그리고 왼쪽에 $1$.

따라서 우리는 $f(x)=\mid x\mid$ 간격에서 연속 $[-1,1]$.

내 증명이 맞습니까?

Answer 1

귀하의 증거가 정확 해 보입니다. 무슨 일이 일어나고 있는지 설명하기 위해 증거에 단어를 포함시켜야한다고 말하고 싶습니다.

사실 좀 더 일반적인 것을 증명할 수 있습니다. 허락하다$I \subseteq \mathbb{R}$ 그런 간격이 $f: I \to \mathbb{R}$연속적입니다. 그때$|f|$ 연속적입니다.

허락하다 $\epsilon > 0$ 주어지고 $a \in I$우리의 관심 지점이 되십시오. 그런 다음 다음을 증명하고 싶습니다.

$$\exists \delta > 0: |x-a| < \delta \implies | |f|(x)-|f|(a) | < \epsilon$$

그러나 우리는 $|f|(x) := |f(x)|$. 역 삼각형 부등식은 다음과 같은 경우입니다.

$$| |f(x)| - |f(a)| | \leq |f(x)-f(a)|$$

우리는 원하는 $\delta_1 > 0$ 다음과 같은 경우 존재합니다.

$$|f(x)-f(a)| < \epsilon$$

따라서 우리는 단순히 필요한 $\delta = \delta_1$ 그리고 우리는 끝났습니다.