고조파 발진기의 접지 상태 퇴화

Question

나는 sidney coleman 비디오와 강의 노트를 따라 가면서 독특한지면 상태에는 스핀없는 고조파 발진기가 필요하고 스핀은 스핀의 z 구성 요소의 다양한 값에 해당하는지면 상태에서 퇴화를 도입한다고 주장했습니다.

누구든지 제로 스핀이 아닌 양자 고조파 발진기의 접지 상태에서 퇴화가 어떻게 나타나는지 설명 할 수 있습니까?

Answer 1

퇴화는 시스템이 특정 에너지 수준에 대해 둘 이상의 상태 를 가질 때 발생합니다 . 3 차원 고조파 발진기를 고려하면 에너지는 다음과 같이 주어진다.

$$E_n = (n_x + n_y + n_z) \,\hbar \omega + \frac{3}{2},$$

어디 $n_x, n_y$, 및 $n_z$ 정수이고 상태는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $|n_x, n_y, n_z\rangle$. 지면 상태를 제외한 모든 상태가 퇴화됨을 쉽게 알 수 있습니다.

이제 입자에 스핀이 있다고 가정합니다 (예 : spin-$1/2$). 이 경우 시스템의 전체 상태 를 설명 하려면 4 개의 양자 수가 필요 합니다.$n_x, n_y, n_z,$ 과 $s$, 입자 의 회전 이며 (이 경우) 두 값을 취할 수 있습니다.$|+\rangle$ 또는 $|-\rangle$. 그러나 스핀은 Hamiltonian의 어느 곳에서도 나타나지 않으므로 에너지 표현에는 두 상태가 모두 나타납니다.

$$|n_x, n_y, n_z, +\rangle \quad \quad\text{and} \quad \quad |n_x, n_y, n_z, -\rangle$$

있는 별개의 , 그럼에도 불구하고 같은 에너지를 가지고있다. 따라서 0이 아닌 스핀이 있으면지면 상태가 더 이상 퇴화되지 않을 수 있습니다.

Answer 2

1D 고조파 발진기 Hamilton은 $$H=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$$ 어디 $\omega$ 주파수이고 $n$ 자연수입니다.

보시다시피 Hamiltonian은 스핀과 무관합니다. $s$. 이는 스핀과 에너지를 동시에 관찰 / 정의 할 수 있음을 의미합니다. 또한 각 에너지 수준이$n$ 가질 수있다 $2s+1$가능한 스핀 값. 따라서 각 레벨은지면 상태를 포함하여 퇴화됩니다 ($s=0$).