고리 사이에 연속적인 주입 맵이지만 이미지에 "구멍"이 있음
에 $\mathbb R^n$ 허락하다 $B_r$ 중심이 0이고 반경이있는 열린 공 $r$. 에 대한$r\in (0,1)$ 허락하다 $A_r = \overline{B_1}\setminus B_r$. 허락하다$r,s\in (0,1)$ 그리고 그것을 가정 $F : A_r\to A_s$ 연속적이고 주입 적이므로 $F(\partial B_1) = \partial B_1$ 과 $F(\partial B_r) = \partial B_s$. 의 이미지가 가능합니까?$F$ 구멍이있다 $A_s$즉, $F(A_r) = A_s\setminus U$, 어디 $U$ 연결된 오픈 세트입니까?
답변
다음은 도메인 정리의 불변성을 사용한 증명입니다. 당신의 고리를 가지고$A_r$ 두 개의 사본을 붙이는 "더블" $A^\pm$ 의 $A=A_r$경계 구체를 따라. 결과는 연결된 닫힌 (간단하고 빈 경계가있는) 매니 폴드입니다.$M$ (동종 $S^{n-1}\times S^1$관심이 있다면). 매핑$F: A\to A$ 연속 주입 매핑을 생성합니다. $DF: M\to M$. 이후$M$ 작고 $F$ 연속적입니다. $DF(M)$또한 컴팩트합니다. 이후$M$ Hausdorff입니다. $DF(M)$닫힙니다. 도메인 정리 의 불변성에 의해 (상 동성이 필요한 곳입니다),$DF(M)\subset M$열려 있습니다. 이후$M$ 연결되었습니다, $DF(M)=M$. 그러므로,$F(A)=A$. qed
편집하다. 허락하다$(X,A)$ 위상 공간이된다 $X$ 닫힌 부분 집합 $A$. 더블 $DX$ ...을 따라서 $A$ 제품의 몫 공간입니다. $$ X\times \{0, 1\} $$ (어디 $\{0, 1\}$ 이산 토폴로지가 있음) 등가 관계에 의해 $(a, 0)\sim (a, 1)$ 모든 $a\in A$. (위의 제품 공간은$X$. 우주$DX$ 비공식적으로 두 개의 사본을 붙임으로써 분리 된 결합에서 얻은 것으로 설명됩니다. $A$. 예를 이해하는 것은 좋은 연습입니다.$X$ 닫힌 디스크이고 $A$경계 원입니다. 그때$DX$ 동종이다 $S^2$.) 이후 $A$ 닫혀 있습니다. $DX$ Hausdorff입니다. $X$이다. (예 : If$X$ 경계가있는 매니 폴드이고 $A=\partial X$, 다음 $DX$ 경계가없는 다양체입니다.)
한다고 가정 $f: (X,A)\to (Y,B)$ 쌍의 연속 맵입니다 (예 : $f(A)\subset B$), 다음으로 이중 정의 $$ Df: [(x, i)] \mapsto [(f(x), i)], i=0, 1. $$여기서 대괄호는 위와 같은 등가 클래스를 나타냅니다. 지도$Df$ 잘 정의되어 있습니다. $f(A)\subset B$. 지도$Df$항상 연속적입니다. 만약$f$ 주사제이므로 $Df$.
아니, 불가능합니다. 고르자$r = s$, 그리고 실제로 고리로 작업 $A$ 내부 반경 $1$ 및 외부 반경 $2$. 그리고 요점을 선택합시다$P$ 세트에서 $U$, 그래서 $P$ 의 포인트입니다 $A$ 그런 $P \notin F(A)$. 그래서 우리는지도를 가지고 있습니다.$$ F : A \to A $$ 누구의 이미지가 그리워 $P \in A \subset \Bbb R^2$. 밝히다$$ \gamma_c $$ 시작하는 길 $(1,0)$ 그리고 직선으로 여행 $(1+c, 0)$, 반지름 원을 횡단합니다. $1+c$ 카운터 클럭킹 한 다음 $(1,0)$, 그래서 $$ \gamma_c(t) = \begin{cases} (1 + 3ct, 0) & 0 \le t \le \frac13 \\ ((1+c)\cos(6\pi(t-\frac13)), (1+c)\cos(6\pi(t-\frac13))) & \frac13 \le t \le \frac23\\ (1 + t - 3(t-\frac23), 0) & \frac23 \le t \le 1 \end{cases} $$
그때 $\gamma_0$ 과 $\gamma_1$ 동종 루프입니다 $\pi_1(A, a)$, 어디 $a = (1, 0)$. 과$\gamma_c$ 다음의 모든 값에 대해 동종입니다. $0 \le c \le 1$. 특히 루프$\alpha$ 정의 $\gamma_0$ 뒤에 $\gamma_1$ null-homotopic in $\pi_1(A,a)$. 즉$F \circ \alpha$ nullhomotopic in $F(A)$, 따라서 (포함하여) $\pi_1(\Bbb R^2 \setminus \{P\}, F(a)) = \Bbb Z$.
그러나 $F \circ \alpha$ 지점을 한 번 감다 $P$ (좋아요, 약간의 증명이 필요하지만 많이는 아닙니다), 따라서 0이 아닌 요소를 나타냅니다. $\pi_1(\Bbb R^2 \setminus \{P\}, F(a))$, 불가능합니다. $F_\star$ 그룹의 동형이며 보낼 수 없습니다 $0$ 발전기에.