고리의 곱셈에 대한 정의 [닫힌]
반지가 있다고 가정 해 봅시다 $R=(\mathbb{R}, +, *)$. 이다
$a+a=2*a$
($a \in \mathbb{R}$)
모든 링 ¹에 항상 적용됩니까? (그래서이 방정식이 사실이 아닐 때 확실히 추론 할 수 있습니다.$R$ 반지가 아닙니다.)
1) "any"는 사용중인 다른 반지를 의미합니다. $\mathbb{R}$ 기본 세트로 귀하의 의견 닉에 감사드립니다.
답변
당신의 반지에 단위가 있다면, 즉 곱셈 적 정체성 (그리고 요즘 거의 모든 사람들이 사용하는 정의 https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)#Multiplicative_identity:_mandatory_vs._optional), 그렇다면 예.
댓글 작성자가 지적했듯이 $2$ 다음과 같이 정의됩니다 * $1 +1$, 어디 $1$ 곱셈 적 정체성이므로 분배 법칙과 $1$ 곱셈 적 정체성입니다.
주의해야 할 유일한 것은 $ 2 = 0$ (예 : $\mathbb Z_2$) 또는 아마도 $2 = -1$ (예 : $\mathbb Z_3$), 따라서 링 내부의 이러한 "정수"는 정수가 작동 할 것으로 예상하는 방식으로 작동하지 않을 수 있습니다.
당신이 대수 구조를 처리하는 경우 BTW, 그것은 하지 않습니다 이$1$, 사람들은 종종 "액션"을 정의합니다. $\mathbb Z$ 요소에 곱셈을 사용하여 표시합니다.
$$ n \cdot a = a + a + .... + a \text{ (n times)}$$
편집 : 좋아, 당신은 추가 " '무엇이든'나는 또한 사용하는 다른 반지를 의미합니다 $\mathbb{R}$ "기본 집합으로",이 문제를 해결해야합니다. 기본 집합을 사용할 수 있습니다. $\mathbb R$, 그리고 그것에 엉뚱한 새로운 덧셈과 곱셈을 정의하십시오. 가장 간단한 것은$a \oplus b = a + b -1$ 과 $a \otimes b = ab - a -b + 2$.
기호를 사용합시다 $S$ 이 새로운 반지를 나타 내기 위해 $\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$. 그런 다음 숫자 1$\mathbb R$ (나는 다음과 같이 쓸 것입니다. $1_{\mathbb R}$)는 링의 곱셈 적 정체성이 아닙니다. $S$. $1_S$, 이름이 지정된 링의 곱셈 식별에 대한 표준 표기법입니다. $S$, 사실 $2$, 그것은 좋은 오래된 2를 의미합니다. $\mathbb R$, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $2_{\mathbb R}$, 그리고 예 $2_{\mathbb R} = 1_{\mathbb R} + 1_{\mathbb R}$.
하지만 당신의 질문은 여전히 사실입니다 $S$, 즉 $a \oplus a =2_{S} \otimes a$; 그러나 링 작동을 사용해야합니다.$S$, 사용하고 있음을 스스로 상기 시키십시오. $2_{S}$, 다음과 같이 정의됩니다. $1_{S} \oplus 1_{S}$. (그리고 기본 실수에 해당$3_{\mathbb R}$!)
반지 $S$물론 함께 일하기가 매우 혼란스럽고, 학부 수학 전공의 두뇌를 부수고 우리가 무엇과 매우 다르게 행동하는 그룹, 반지, 분야 등을 정의 할 수 있는지 보여주기 위해 진지하게 사용되는 것을 본 적이 없습니다. 그들은 익숙합니다. 즉$\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$ 일반적으로 사용되는 수학적 도구는 아니지만주의 할만한 이야기입니다. $\mathbb R$그래서 당신은 정말 이상한 덧셈과 곱셈을 정의하기 위해 그것을 열어 두었습니다. 나는 그것에 대해 너무 많은 시간을 할애하지 않을 것이지만, 당신의 지혜를 숙고하고 날카롭게하는 것은 재미있는 예가 될 수 있습니다.
* 누군가 ""기호를 사용하는 경우$2$"와 같지 않다고 말합니다. $1+1$, 당신은 그들을 재미있게보고, 그들이 무엇을하고 있다고 생각하는지 물어보고, 왜 그들이 그 상징을 사용하고 있는지 설명하도록 요구하게됩니다.
이것은 당신이 알아야 할 몇 가지 사항이 있지만 정의상 기본적으로 사실입니다.
어떤 사람들은 어떤 반지를 요구합니다 $(R,+_R,\cdot_R)$ 곱셈 적 정체성을 포함 $1_R,$ 그리고 그 고리 동형 $f : (R,+_R,\cdot_R)\to (S,+_S,\cdot_S)$ 풀다 $f(1_R) = 1_S.$ 이 조건이 필요한 경우 모든 링에 대해 $(R,+_R,\cdot_R)$ 독특한 고리 동형이 있습니다 $i_R : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R).$ 이 경우 설정 한 경우에도 $R$ 문자 그대로 포함하지 않습니다 $2,$ 당신은 생각할 수 있습니다 $i_R(2)\in R$ 존재로 $2$ (당신은 심지어 쓸 수도 있습니다 $i_R(2) = 2_R$). 그렇다면 그것은 사실입니다.$r\in R,$ $$ 2_R\cdot_R r = i_R(2)\cdot_R r = r +_R r, $$ 때문에 $$ \begin{align*} i_R(2)\cdot_R r &= i_R(1 + 1)\cdot_R r\\ &= (i_R(1) + i_R(1))\cdot_R r\\ &= (1_R + 1_R)\cdot_R r\\ &= r + r. \end{align*} $$ JonathanZ가 MonicaC 노트를 지원하기 때문에 $i_R(2)$예상 한 것과 다르게 작동하거나 예상 한 것과 다르게 보입니다. 그것은 될 수 있습니다$i_R(2) = -1_R$ 또는 $i_R(2) = 0_R$! 이에 대한 특히 터무니없는 예는 마지막 단락을 참조하십시오.
고리가 곱셈 정체성을 가질 필요가없고 / 또는 고리 동형이 곱셈 정체성을 곱셈 정체성에 보낼 필요가 없다면 우리가 의미하는 바에 대해주의해야하지만 어느 정도는 여전히 사실입니다.
허락하다 $(R,+_R,\cdot_R)$우리의 가능하지 않은 반지가 될 수 있습니다. 이 경우에는 고유 한 동형을 사용할 수 없습니다.$i_R :(\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R)$이전부터-이제 하나 이상의 고리 동형이있을 수 있습니다! 또한, 세트$R$ 포함하지 않을 수 있습니다 $2.$
그래서 우리는 무엇을합니까? 음, 모든 반지에는 기본 아벨 그룹이 있음을 기억하십시오.$(R,+_R).$ https://math.stackexchange.com/questions/1156130/abelian-groups-and-mathbbz-modules (보다 https://en.wikipedia.org/wiki/Module_(mathematics)익숙하지 않은 경우 링 위의 모듈 정의). 이것은 우리가$\Bbb{Z}$ 의 위에 $R$덧셈과 잘 어울립니다. 이 작업은 다음을 설정하여 정의합니다. $$ n\cdot r :=\begin{cases} \underbrace{r + \dots + r}_{n\textrm{ times}},&n > 0,\\ 0,&n=0,\\ \underbrace{-r + \dots + -r}_{-n\textrm{ times}}, &n <0. \end{cases} $$ 내가 글을 쓰지 않는다는 것을 주목하세요 $n\cdot_R r$ -요소가 반드시 필요하지 않기 때문입니다. $n\in R$ 같은 행동 $n.$ 그러나 요소 추가를 생각하는 것은 여전히 현명합니다. $r$ 그 자체로 $n$ 시간, 그게 뭐야 $n\cdot r$정의에 의해 의미합니다. 그만큼$\cdot$ 의 행동을 나타냅니다 $\Bbb{Z}$ 기본 아벨 그룹에 $(R,+_R,\cdot_R),$반지 자체의 곱셈이 아닙니다. 이런 의미에서 평등 $$ 2\cdot r = r+r $$ 항상 유지되며 이것은 기본적으로 정의에 의한 것입니다!
마지막 한마디. 당신은 이것이 어떤 반지에 대해서도 사실인지 물었습니다.$\Bbb{R}$기본 세트로. 여기서 약간주의해야합니다. 다음 링 구조를 고려하십시오.$\Bbb{R}$: $$ \begin{align*} +' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r+'s:=\sqrt[3]{r^3 + s^3},\\ \cdot' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r\cdot's := rs. \end{align*} $$ 이것은 표준 링 구조가 아닙니다. $\Bbb{R}$-곱셈은 동일하지만 더하기는 "꼬임"입니다. 이 경우$2\in \Bbb{R}$,하지만 사실이 아닙니다. $2\cdot' r = r +' r.$ 가정 $r = 2.$ 그때: $$ \begin{align*} 2 +' 2 &= \sqrt[3]{2^3 + 2^3}\\ &= \sqrt[3]{16}\\ &= 2\sqrt[3]{2}. \end{align*} $$ 반면에 $$ 2\cdot'2 = 4. $$ 어떻게 된 거예요? 아래 답변을 공개하기 전에 직접 생각해 보겠습니다!
여기서 일어난 일은 $2\in\Bbb{R}$더 이상 이전과 같은 역할을하지 않습니다. 우리 반지$(\Bbb{R},+',\cdot')$ 여전히 곱셈 적 정체성을 가지고 있지만 우리의 고리 동형은 $i_{(\Bbb{R},+',\cdot')} : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(\Bbb{R},+',\cdot')$ 지금 보낸다 $$i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(2) = i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) +' i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) = 1 +' 1 = \sqrt[3]{2}.$$그래서 다음의 요소가 있습니다. $(\Bbb{R},+',\cdot')$ 같은 행동 $2$ 해야-그것은 $\sqrt[3]{2}$. 따라서 우리는$$\sqrt[3]{2}\cdot' r = r +' r$$어떠한 것도 $r\in\Bbb{R}.$ 이것은 매우 혼란 스럽습니다. $2\in\Bbb{R}$! 이 경우 다음을 구별하는 것이 매우 중요합니다.$2\cdot r$ (이것은 $2\in\Bbb{Z}$ 행동 $r,$ 기부 $r +'r$) 및 $2\cdot' r$ (우리가 계산 한대로 $r +' r$일반적으로). 첫 번째 단락의 표기법에서$2_{(\Bbb{R},+',\cdot')} = \sqrt[3]{2}$ 과 $2\neq 2_{(\Bbb{R},+',\cdot')}$.
어떤 세트에서 발생한 일에 대해 더 명확하게 $X,$ 어떤 반지 $(R,+_R,\cdot_R),$ 그리고 어떤 bijection $f : X\to R,$ 우리는 줄 수있다 $X$ 덧셈을 정의하여 링의 구조 $X$ 으로 $x +_X y := f^{-1}(f(x)+_R f(y))$ 과 $x\cdot_X y := f^{-1}(f(x)\cdot_R f(y)).$ 우리는 링 구조를 취하고 있습니다. $R$ 그리고 그것을 수송 $X$ bijection을 통해 $f$: 먼저 요소를 $x$ 과 $y$ 에 $X,$ 그들을 보내 $R$ 추가하거나 곱한 다음 다시 가져옵니다. $X.$ 위의 예에서는 bijection을 사용하고 있습니다. $\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ 보내는 $x$ ...에 $x^3.$