공동 시스템에 대한 양자 역학의 밀도 연산자 이해
우리가 기초를 가진 시스템 A로 구성된 공동 시스템으로 작업하고 있다고 생각하십시오. $|\alpha_j\rangle$ 베이스가있는 시스템 B $|\beta_j\rangle$, 우리는 텐서 곱 기준과 관련하여 관절 시스템에 대한 일반 밀도 행렬을 작성할 수 있습니다. $|\alpha_j\rangle |\beta_j\rangle$.
그러면 밀도 연산자가 다음과 같이 작성 될 수 있다는 것을 어떻게 추론 할 수 있는지 이해하고 싶습니다.
$$\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$
이에 대한 이해를 돕기 위해 도움을 주시면 대단히 감사하겠습니다.
답변
만약 $\big\{|\alpha_j\rangle\big\}$ 힐베르트 공간의 기초 $\mathcal H_A$ 과 $\big\{|\beta_k\rangle\big\}$ 의 기초입니다 $\mathcal H_B$, 다음 $\big\{|\alpha_j,\beta_k\rangle \big\}$ 의 기초입니다 $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$, 복합 시스템의 자연 힐베르트 공간입니다. 표기법을 가볍게하기 위해$|\alpha_j,\beta_k\rangle \equiv |\alpha_j\rangle \otimes |\beta_k \rangle$.
거기에서 ID 연산자는 $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ 쓸 수있다 $$\mathbf 1 = \sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|$$
그래서 임의의 연산자 $T$ 쓸 수있다
$$T = \mathbf 1 \cdot T \cdot \mathbf 1 = \bigg(\sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|\bigg) T \bigg(\sum_{\ell,m} |\alpha_\ell,\beta_m\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|\bigg)$$ $$ = \sum_{j,k,\ell,m}T_{jk\ell m} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|$$
어디 $$T_{jk\ell m} \equiv \langle \alpha_j,\beta_k| T | \alpha_\ell,\beta_m\rangle$$
짧은 대답 : 방정식의 양쪽을 임의의 ket 기저 벡터에 적용하면 상황이 많이 단순화됩니다.
그 방정식의 진실은 그것이 조인트 시스템이라는 사실이나 밀도 연산자라는 사실과는 아무 관련이 없습니다. 모든 연산자와 정규 직교 기준에 해당됩니다.
방정식의 양쪽을 기저 벡터에 적용한 후 진행하는 한 가지 방법은 두 항을 뒤집고 항등의 해를 사용하는 것입니다.