고유 다항식 함수의 수를 찾는 방법 $\mathbb{Z}_2$ ...에 $\mathbb{Z}_2$? [복제]

Question

양의 정수 $n$, 차수의 다항식이 몇 개 있습니까? $n$ 위에 $\mathbb{Z}_2$? 얼마나 많은 고유 다항식이$\mathbb{Z}_2$ ...에 $\mathbb{Z}_2$?

시도 : 첫 번째 부분은 $2$ 각 계수에 대한 선택 사항이 있으며 $n$ 계수 그래서 있습니다 $2^n$그러한 다항식. 별개의 다항식 함수를 찾아야하는 두 번째 부분을 이해하는 데 문제가 있습니다.

내가 가정한다면 $p(x)$ 과 $p'(x)$ 두 개의 동일한 다항식 함수입니다. $\mathbb{Z}_2$ 그런 $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ 과 $p'(x)=a'_nx^n+\cdots+a'_0$, 다음 $p'(x)=p(x)$ ...에 대한 $x=0,1$. 그래서$a'_0=a_0$. 그리고 이러한 다항식의 차수는$n$ 그때 $a_n=a'_n=1$. 따라서 고유 한 다항식 함수를 찾으려면 다음과 같은 경우를 고려해야합니다.$p(x)$ 같을 수 없다 $p'(x)$ 모든 가치에 대해 $x\in\{0,1\}$. 여기서부터 진행할 수 없습니다. 나는 해결책을 찾고 있었다. 어디에서나 그들이 단지 존재한다는 사실로 논쟁을 시작했음을 알 수 있습니다.$4$그런 다항식과 그런 다항식의 예를 제공합니다. 이 문제를 이해하려면 도움이 필요합니다. 감사합니다

Answer 1

4 가지 기능 만 있습니다 $f: \Bbb Z_2 \to \Bbb Z_2$. 이는 함수 집합의 카디널리티가$A \to B$ 이다 $$|B^A|=|B|^{|A|}$$ 할때는 언제나 $A,B$ 유한 세트입니다.

그들은 다항식 함수입니다. 실제로 그들은$$f_1(x)=0$$ $$f_2(x)=1$$ $$f_3(x)=x$$ $$f_4(x)=1-x$$ 그래서 우리는 그들 모두를 찾았습니다.

Answer 2

위에 $\Bbb{Z}_2$, 다항식 $x(x+1) = x^2 + x$ 동일하다 $0$, 즉, $x^2$ 와 $x$다항식에서 동일한 값을 얻습니다. 이것을 반복해서 사용하면$\Bbb{Z}_2$, 다항식 $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n$$ 항상 다항식과 동일한 값을 제공합니다. $$a_0 + (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)x,$$ 그래서 $4$ 구별 가능한 다항식 $\Bbb{Z}_2$, 여부에 따라 $a_0 = 0$ 또는 $1$및 여부 $a_1 + a_2 + a_3 + ... +a_n = 0$ 또는 $1$.

Answer 3

첫 번째 질문에 대한 답은 $2^{n-1}$ 보다는 $2^{n}$ 계수 이후 $x^n$ 항상 $1$.

두 번째 부분에서는 모든 다항식 함수의 집합이 귀하의 경우 에있는 모든 함수 의 집합이라는 점에 유의 하십시오.

편집 :이 답변의 첫 번째 부분이 잘못되었습니다.