고유 한 토폴로지를 결정하는 기준
Munkres의 토폴로지를 읽었을 때 기초가 있다면$\mathscr{B}$ 세트에 $X$이면 기준이 고유하게 토폴로지를 결정합니다. $X$; 즉, 두 개의 토폴로지가있는 경우$\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ 같은 근거로 $\mathscr{B}$, 다음 $\mathscr{T}_1=\mathscr{T}_2$. 다음과 같이 정의에서 이것을 볼 수 없기 때문에 내가 옳은지 확실하지 않습니다.
만약 $X$ 토폴로지의 기초가 설정됩니다. $X$ 컬렉션입니다 $\mathscr{B}$ 하위 집합 $X$ (기초 요소라고 함) $x\in X$, 하나 이상 $B\in \mathscr{B}$ 그런 $x\in B$ 그리고 만약 $x\in B_1\cap B_2$, 어디 $B_1, B_2\in \mathscr{B}$, 그러면 존재 $B_3\in \mathscr{B}$ 그런 $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$.
또한 기초 $\mathscr{B}$ 토폴로지 생성
$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{ U\subset X: \text{for each $x \ in U$, there exists $B \ in \ mathscr {B}$ such that $x \ in B \ subset U$}\right\}$,
포함하는 가장 작은 토폴로지입니다. $\mathscr{B}$. 따라서 기반이있는 토폴로지가$\mathscr{B}$ 다음과 같아야합니다. $\mathscr{T}_\mathscr{B}$.
그건 그렇고, 나는 Topology and Basis의 고유성 기사를 참조했으며 (Henno가 남긴) 의견 중 하나가 내 직감을 정당화하는 것으로 보이며 공개 세트에 대해 언급했습니다.$O$ 요소의 결합 $\mathscr{B}$, 그래서 $O$ 이미 토폴로지에 있습니다. $\mathscr{T}_\mathscr{B}$,하지만 어떻게 알 수 있었는지 $O$기초의 정의만으로 이렇게 쓸 수 있습니까? 제 말은 Munkres의 책에서 그는 13.1 장에서 제 이해에서 언급했습니다.$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{\cup_\alpha B_\alpha:B_\alpha \in \mathscr{B}\right\}$, 기본이있는 모든 토폴로지에 적용된다는 것과 반대 $\mathscr{B}$. 아마도 나는이 시점에서 오해를하고있을 것이다.
어떤 도움이라도 정말 감사합니다!
답변
우리는 토폴로지가 $\mathcal T$ 근거가있다 $\mathcal B$ 만약 $\mathcal T_{\mathcal B}=\mathcal T$.
따라서 두 토폴로지의 기반이 동일하면 일치하는 것이 즉각적입니다.
모든 것에 대해 $x\in U$ 거기에 $B_x\in\mathcal B$ 그런 $x\in B_x\subseteq U$ 다음과 같이 말하는 것과 같습니다. $U$ 요소의 결합입니다 $\mathcal B$, 구체적으로 특별히 $U=\bigcup_{x\in U}B_x$.
당신이 놓칠 수있는 것은
세트 $\mathcal B$ 하위 집합 $X$ 토폴로지의 기초입니다 (의미 $\mathcal T_{\mathcal B}=\left\{\bigcup \mathcal D:\mathcal D\subseteq\mathcal B\right\} $ 토폴로지) 주어진 조건이 유지되는 경우에만, 즉 $\forall x\in X\,\exists B\in\mathcal B: x\in B$ 과 $\forall x\in X\,\forall B_1,B_2\in\mathcal B\ x\in B_1\cap B_2\implies \exists B\in\mathcal B: x\in B\subseteq B_1\cap B_2$.
모든 오픈 세트의 모음으로서 토폴로지의 정의부터 시작하겠습니다. 이제 모든 열린 집합은 점을 포함하는 모든 기본 요소 의 집합 이론적 합집합 으로 작성 될 수 있습니다.$x \in U$, 그건, $U = \bigcup_{x\in U} B_x $. 이제 토폴로지 기반의 가정에 따라 항상 두 개의 기본 요소를 사용할 수 있습니다.$B_1, B_2$ 비어 있지 않은 교차점으로 세 번째 기본 요소를 찾습니다 ( $B_3$). 그럼에도 불구하고, 토폴로지 컬렉션에 의해 생성 없이 $B_3$그리고 하나 와 $B_3$ 세트를 고려하여 이미 고려 된 세트를 추가하면 세트-이론적 결합이 변경되지 않는다는 사실에서 비롯됩니다. $B_1$ 과 $ B_2$. 이것은 Munkres가 토폴로지의 기초가 벡터 공간의 기초와 같지 않다고 썼을 때의 의미입니다. 따라서이 관점에서 모든 (고정 된) 열린 집합의 집합 이론적 결합이 고유 한 개체이므로 기본이 토폴로지를 결정하지만 그 반대가 아니라는 것을 알 수 있습니다.